リーマン多様体のなす空間の幾何学

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11640075
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 大津 幸男 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (80233170)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 後藤 竜司 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30252571) ; 塩谷 隆 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90235507) ; 山口 孝男 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (00182444)
• Keywords: リーマン多様体 / アレクサンドロフ空間 / ハウスドルフ距離 / ラプラシアン

Research Abstract

距離空間の個数一定の点の順序付きの集合をネットと呼ぶ,これは空間を離散化したものと思うことができる.ネット全体はその空間の直積の見なせるので,コンパクト距離空間のなす空間,あるいはアレクサンドルフ空間のなす部分集合(以下モジュライ空間)を考え,各空間とそのネットの組み全体を考えると,元のモジュライ空間上のファイバー空間のようなものとみなせる,その各ネットに対してそれらの二点間の距離から定まる行列でユークリッド空間への写像を作ることでネットの距離構造を表現し,これを元に個々の空間の幾何構造やモジュライ空間の構造を調べた,まず,上の写像は解析的には取り扱い辛かったことから,この写像から距離構造の局所的なデータを取り出す別な(ユークリッド空間への)写像を導入した.このようものは一意的に決まるわけではないが,リーマン多様体のラプラシアンとの類似により離散ラプラシアンを定義し,それがそのようなものであろうと予測し,ネットの個数が無限に発散するときの離散ラプラシアンの統計的な挙動を調べる手法を導入した.これにより(適当な意味で)離散ラプラシアン(の固有値・固有ベクトル)がネットの取り方によらないある極限に確率収束することを示し,さらにこの極限は桑江・町頭・塩谷によるアレクサンドロフ空間のラプラシアンとある意味で一致することを示した.これにより空間と共にラプラシアンがどう変化するか,つまり,空間の離散化,局所化とそれらの祖視化によってモジュライ空間の構造が抽出される様子を調べられるようになった.

Research Products

• [Publications] Kuwae, Machigashira, Shioya: "Soboler spaces, raplacian and heat Kernel or Alexundrov space"Math.Z.. 238. 269-316 (2001)
• [Publications] Shioya, Yamaguchi: "Collapsing thue man. jolds under a lower cunktne bokl"J.Ditterential geirnehy. 56. 1-66 (2000)