2002 Fiscal Year Annual Research Report
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11640075
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
大津 幸男 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (80233170)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
後藤 竜司 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30252571)
塩谷 隆 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90235507)
山田 光太郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10221657)
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| Keywords | 大域リーマン幾何 / アレクサンドロフ空間 / ラプラシアン / エントロピー |
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| Research Abstract |
直径と次元を押さえられたコンパクトアレクサンドロフ空間のなすモジュライ空間はハウスドルフ距離によりコンパクト距離空間になることが知られているが,ハウスドルフ距離によりモジュライ空間の幾何構造を捕らえるのが困難なため,これまでのところ詳しい構造を調べることは出来なかった.これまでの我々の研究で,距離空間のネットをグラフとみなすことで離散ラプラシアンを定義し,曲率が下から押さえられたアレクサンドロフ空間の場合,ネットの配位空間の中でその平均を計算することで適当な意味で元の空間のラプラシアンに収束することを示した.我々は離散ラプラシアンが有限次元の行列として表されてことに注目し,異なる空間(とネット)の間でそれを比較することで,モジュライ空間の新しい構造を定義することを試みた.比較する方法として,有限なパラメータを持つ分布の間の相対エントロピーがリーマン計量を定めるという情報幾何の結果に着目した.まず,離散ラプラシアンを変形することでネットの定常マルコフ連鎖が得られることを示し,別の空間のネットのマルコフ連鎖の間の相対エントロピーを考察した.これは幾つかのパラメータとネットの選び方によって定まるので,平均と極限をとることで相対エントロピーの連続極限を構成した.この操作の中で自然に温度に当たるパラメータが得られた.中心極限定理を使い,これがハウスドルフ距離の自然な一般化となることを示し,ラプラシアンとの関連も調べた.これは上の見方からするとリーマン計量を定義する予想されるが,(無限次元非線形空間のリーマン構造の)正確な定式化は今と所ないので,それを定式化し,ハウスドルフ距離との関連を詳しく解析し,それを使ってモジュライ空間の幾何構造を調べるのが今後の計画である.
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[Publications] K.Kuwase, T.Shioya: "On generalized measure contraction property and functionals over Lipschitz maps"Potenitial Anal.. 15. 105-121 (2001)
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[Publications] K.Yamada et al.: "An analogue of minimal surface theory in SL(n, C)/SU(n)"Trans.A.M.S.. 354. 1299-1325 (2002)
