複素シンプレクティック多様体とその周辺

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12440006
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 宮岡 洋一 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50101077)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 小木曽 啓示 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (40224133) ; 川又 雄二郎 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (90126037) ; 桂 利行 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40108444) ; 寺杣 友秀 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50192654)
• Keywords: 複素シンプレクティック多様体 / 射影空間 / 双有理写像 / 完全可積分ハミルトン系 / 大域剛性 / モディライ空間

Research Abstract

研究代表者が共同研究者とともに示した射影空間の新しい特徴付けを用いて、コンパクト複素シンプレクティック多様体Xからの正則写像f : X→Yがもつ性質を組織的に研究した。課題研究で得られた主要結果は次の二つである。fは全射,像Yは正規かつ射影的と仮定する。1)fが双有理的である場合,fの例外集合はファイバー空間の構造をもち,低空間は特異シンプレクティック多様体,一般ファイバーは射影空間である。2)Xが原始的で,fが大域切断をもち,双有理的でない場合,Yは射影空間となり,fの各ファイバー(に沿った接空間)は完全可積分ハミルトン系をなす。以上二つの結果を併せると,Xからの正則写像fは少くとも局所的にはほとんど完全な記述をもち,このような複素シンプレクティック多様体の大域構造がきわめてリジッドである(大域剛性)ことがわかる。これはカラービヤウ多様体について知られている知見とは逆の現象であって,これが示唆するところは,コンパクト複素シンプレクティック多様体のモデュライ空間はかなり小さく,全体を統制することも可能であろうということである。そうした窮極の目標に向かい,さしあたって問題とすべきは,非特異の場合の結果を特異シンプレクティック多様体にまで拡張すること,および複素構造を変形することによって,与えられた複素シンプレクティック多様体が非自明な写像をもつようにすること,の二点であり,次年度の重点目標とする。

Research Products

• [Publications] K.Cho, Y.Miyaoka, N.Shepherd-Barron: "Characterizations of projective space and applications to complex symplectic manifolds"Advanced Studies in Pure Mathematics. 35. 1-89 (2002)
• [Publications] Y.Miyaoka, S.Mori(編): "Higher dimensional birational geometry"Mathematical Society of Japan. 390 (2002)