| Research Abstract |
本年度は実に多様な展開がありました。ホモロジー代数の手法による可換なNoether環Rの特徴付けは,様々なhomological dimensionの定義となって実現しています。homological dimension有限の整閉イデアルIの付随素イデアルPには強い制約があることが予想されていましたが,実際に解析を進めるとイデアルIの射影次元(或いは,入射次元)が有限なら局所環R_Pは正則である([4])など,驚くほど明瞭な結果が得られました。この研究を発展させると,正則局所環内のイデアルのfiltrationに随伴するRees代数のa-不変量の評価が得られます([5])。このような可換環論のホモロジー代数的手法は,必ずしも可換ではないNoetherian algebrasに付いても,殆ど何の変更もなく有効であることが次第に明らかとなりました。成果は論文[6],[7]に纏めてあります。優良イデアルの基礎理論は[1],[2]に集約されていますが,m-準素とは限らないイデアルにも,優良イデアルの理論が可能であることがわかり,論文[3]にその基礎を述べておきました。
[1]S. Goto, S. Iai, and K. Watanabe, Good ideals in Gorenstein local rings, Trans. Amer. Math. Soc., 353(2001), 2309-2346
[2]S. Goto, S. Iai, and M. Kim, Good ideals in Gorenstein local rings obtained by idealization, Proc. Amer. Math. Soc. (to appear)
[3]S. Goto and M. Kim, Equimultiple good ideals, J. Math. Kyoto Univ., 42-1 (2002), 21-32
[4]S. Goto and F. Hayasaka, Finite homdogical dimension and primes associated to integrally closed ideals, Proc. Amer. Math. Soc. (to appear)
[5]S. Goto, F. Hayasaka and S. Iai, The $\roman(a)$-invariant and Gorensteinness of graded rings associated to filtrations of ideals in regular local rings, Proc. Amer. Math. Soc. (to appear)
[6]S. Goto and K. Nishida, Finite modules of finite injective dimension over a Noetherian algebra, J. London Math. Soc., (2), 63(2001), 319-335
[7]S. Goto and K. Nishida, Towards a theory of Bass numbers with application to Gorenstein algebras, Colloquium Mathematicum, 91 (2002), 191-253
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