2003 Fiscal Year Annual Research Report
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13640222
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
古谷 賢朗 東京理科大学, 理工学部, 教授 (70112901)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小林 隆夫 東京理科大学, 理工学部, 教授 (90178319)
岡 正俊 東京理科大学, 理工学部, 教授 (70120178)
大槻 舒一 東京理科大学, 理工学部, 教授 (80112895)
田中 真紀子 東京理科大学, 理工学部, 助教授 (20255623)
小林 嶺道 東京理科大学, 理工学部, 教授 (70120186)
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| Keywords | zeta-regularized determinant / Heisenberg manifold / modified Bessel function / Epstein zeta funtion / 無限積 / Quillen determinant / Maslov line bundle |
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| Research Abstract |
(1)Heisenberg多様体上のLaplacianのzeta-regularized determinantを3次元及び5次元の場合について、その値を積分表示することに成功した。その過程で、熱核漸近展開のすべての係数についても具体的に求めることが出来た。ここで目指していることは、一般論では存在が分かっているが、具体的な場合にはそれぞれの多様体に応じた何らかの特殊関数が果たす役割を明かにすることであり、上記多様体に対しては、一つのfactorとして双曲線関数が支配している様子を少し明かに出来た。また他のfactorとして、その低空間としてのtorusのzeta-regularized determinantはEpstein zeta関数の関数等式を用いて無限積表示ができるが、3次元以上になるとmodified Bessel関数が現れ、次元が上るとより複雑になって行く様子を見ることが出来た。これらの表示から、離散部分群にどのようにその値が関連するのかについても明かになった。
Torusの場合をより一般に扱うために、直積多様体の場合についてのzeta-regularized determinantの公式も研究した。ここで得た公式は、各直積成分のどのような量で表せるかが分かる意味での公式であり、熱核漸近展開係数の多様体の次元に応じた有限個と一方のzeta-regularized determinant等を用いたものである。これは必ずしも最終形でなくて、直積の一つの成分が円周のときはより具体的な形に表せた。このより簡約された表示に行き着くためにはPoisson和公式が重要な役割を果たしていることが明かになった。
(2)有界Fredholm作用素の空間上のQuillen determinantとdeterminant line bundleについて、そのrigorousな定式化を与え両者の自然な同型を明確にした。又無限次元でのMaslov line bundleとの関連性についても新しい見地を得た。
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[Publications] Kenro Furutani: "On the Quillen determinant"Journal of Geometry and Physics. 49 No.3-4. 366-375 (2004)
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[Publications] Kenro Furutani, Serge degosson: "Determinant of Laplacians on Heisenberg manifolds"Journal of Geometry and Physics. 48 No.2-3. 438-479 (2003)
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[Publications] Kenro Furutani: "A kahler structure on the punctured cotangent bundle of the Cayley projective plane"Mathematical Physics Studies. 24. 163-182 (2003)
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[Publications] B.Booss, K.Furutani, K.P.Wojcrechowski: "The Geometry of Cauchy data space"Mathematical Physics studies. 24. 321-354 (2003)
