コホモロジー群と新谷ディセントのブルーエ予想への応用

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14340012
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 宇野 勝博 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70176717)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 宇佐美 陽子 お茶の水女子大学, 理学部, 教授 (90151993) ; 和久井 道久 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助手 (60252574) ; 川中 宣明 大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (10028219) ; 越谷 重夫 千葉大学, 理学部, 教授 (30125926) ; 脇 克志 弘前大学, 理工学部, 助手 (30250591)
• Keywords: ブロック多元環 / ブルーエ予想 / 新谷ディセント / コホモロジー群 / 導来同値 / 森田同値 / デイド予想 / パーフェクトアイソメトリ

Research Abstract

1.階数が低い有限シュバレー群のいくつか(一般線形群、ユニタリ群、シンプレクティック群、G2型の群)において、表現の係数体の標数が群の定義体の標数と異なり、かつ、ある合同条件を満たす場合に、ブルーエ予想の証明に成功した。結果として、これらの場合に、新谷ディセントが導来同値を与えることが確認された。また、その導来同値により既約加群に対応する加群も求められた。
2.一般線形群、ユニタリ群が関与する場合の新谷ディセントについて考察し、べき単指標の場合、または、ハリシュチャンドラ誘導で階数の低い群から得られる場合について、新谷ディセントがルスティックによるパラメトリゼイションを保つことを示した。これらの場合には、ブルーエのパーフェクトアイソメトリ予想が成立することも確認された。また、すべての指標について、新谷ディセントがルスティックによるパラメトリゼイションを保つことを示す方法の考察も進行中である。
3.新たに提出されたデイド予想(昨年夏、体の自己同型の作用も考慮した更に新たな予想が提出された。これは、従来のものを含むものである。ここでは、申請時に提出されていた予想ではなく、昨年夏提出されたものを意味する)について考察し、階数2の部分群が関与する場合、特殊な場合のブルーエ予想を証明することにより、デイド予想がより簡単な場合へ帰着できることを示した。また、このことを用い、実際にいくつかの散在型単純群について、新たに提出されたデイド予想を検証した。なお、ここでいうブルーエ予想も、もとのものでなく、やはり、体の自己同型の作用を考慮した新しいものである。

Research Products

• [Publications] Uno Katsuhiro, Yoshida Satoshi: "Dade's conjecture for the simple O'Nan group"Journal of Algebra. 249・1. 445-468 (2002)
• [Publications] Sawabe Masato, Uno Katsuhiro: "Conjecture on character degrees for simple Lyons group"Quarterly Journal of Mathematics. (発表予定).
• [Publications] Uno Katsuhiro: "Conjecture on character degrees for simple Thompson group"Osaka Journal of Mathematics. (発表予定).
• [Publications] Wakui Michihisa: "Various structures associated to the representation categories of 8-dimensional non-semisimple Hopfalgebras"Algebra and Representation Theory. (発表予定).
• [Publications] Usami Yoko, Nakabayashi Miyako: "Morita equivalent principal 3-blocks of the chevalley group G_2(q)"Proceedings of London Mathematical Society. (発表予定).
• [Publications] Koshitani Shigeo, Kunugi Naoko, Waki Katsushi: "Broue's conjecture for non-principal 3-blocks of finite groups"Journal of Pure and Applied Algebra. 173. 177-211 (2002)