コホモロジー群と新谷ディセントのブルーエ予想への応用

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14340012
• Research Institution: Osaka Kyoiku University
• Principal Investigator: 宇野 勝博 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (70176717)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 脇 克志 弘前大学, 理工学部, 助教授 (30250591) ; 奥山 哲郎 北海道教育大学, 教育学部・旭川校, 教授 (60128733) ; 川中 宣明 大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (10028219) ; 功刀 直子 愛知教育大学, 教育学部, 助手 (50362306) ; 河合 浩明 崇城大学, 工学部, 講師 (10222431)
• Keywords: ブロック多元環 / コホモロジー / 単純群 / ブルーエ予想 / デイド予想 / パーフェクト アイソメトリ / 森田同値 / 不足群

Research Abstract

1.(1)G_2型と呼ばれるタイプの有限シュバレー群で,標数が3の場合のモジュラー表現について考察し,定義体の位数を変更したものとの間に森田同値が存在するための十分条件を得た.
(2)標数が定義体の標数を割らない場合の一般線形群とユニタリ群のモジュラー表現の関係について考察し,階数が小さい場合で主系列表現からくるものについては新谷ディセントがブロック多元環の森田同値あるいはアイソティピィと呼ばれる強いタイプのアイソメトリを与えることを確認した.
(3)標数が3の場合のモジュラー表現で不足群の位数が9の場合にブルーエ予想が正しいことが確認された.
2.コホモロジー多様体における基本的概念を主ブロックとは限らない一般的なブロック多元環の場合に拡張した.
3.デイド予想自体の改良について考察し,有限群の既約指標の次数のp(モジュラー表現を考える際の定義体の標数)で割れない部分の他に有理数体上の群の分解体のガロア群によって不変かどうかも考慮した不変量を考えたが,この改良についてブルーエ予想との開連性におよびブルーエ予想自身の改良ついても論じた.また,コンウエイ、ライアン,マクラフリン等いくつかの散在型単純群において予想の検証を行った.
4.線形群が自然に作用する線形寵間との半直積の場合に,デイド予想およびブルーエ予想,特に,アイソメトリの存在と加群圏の同値の存在について考察したが,アイソメトリ,森田同値,安定同値は一般に存在しないことが確認できた.相対安定同値については,考察が継続中であり.今後の検討課題である.

Research Products

• [Publications] M.Sawabe, K.Uno: "Conjectures on character degrees for the simple Lyons group"the Quarterly Journal of Mathematics. 54・1. 103-121 (2003)
• [Publications] K.Koshitani, N.Kunugi, K.Waki: "Broue abelian defect group conjecture for Held group and the sporadic Suzuki group"Journal of Algebra. (発表予定).
• [Publications] O.Michler, K.Waki, M.Weller: "Natural existence proof for Lyons simple group"Journal of Algebra and its Applications. 2・3. 277-315 (2003)
• [Publications] Y.Usami, M.Nakabayashi: "Morita equivalent principal 3-blocks of the Chevalley groups G_2(q)"Proceedings of the London Mathematical Society. 86・2. 397-434 (2003)
• [Publications] M.Kratzer, W.Lempken, O.Michler, K.Waki: "Another existence and uniqueness proof for McLaughlin's simple group"Journal of Group Theory. 6・4. 443-459 (2003)
• [Publications] H.Kawai: "Varieties for modules over a block of a finite group"Osaka Journal of Mathematics. 40.2. 327-344 (2003)