2003 Fiscal Year Annual Research Report
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14340024
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
山田 光太郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10221657)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
梅原 雅顕 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90193945)
佐伯 修 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (30201510)
宮岡 礼子 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (70108182)
井ノ口 順一 宇都宮大学, 教育学部, 助教授 (40309886)
黒瀬 俊 福岡大学, 理学部, 助教授 (30215107)
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| Keywords | CMC-1曲面 / 平坦曲面 / ワイエルストラス表現 / 全曲率 / 平坦フロント |
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| Research Abstract |
3次元双曲型空間の平均曲率1をもつ曲面について ワイエルストラス型表現公式のピリオド問題,およびオッサーマン型の不等式と関連して,絶対全曲率および双対絶対全曲率が小さい完備な曲面の部分的な分類を与えた.
また,球面三角形に対応するSU(2)表現を用いて,完備有限全曲率,すべての端が非正則(双曲型ガウス写像が端に真性特異点をもつ)かつ既約(対応する基本群のSU(2)表現が既約)なものを構成した.
3次元双曲型空間の(特異点を許す)平坦曲面について Galvez, Martinez, Milanによるワイエルストラス型表現公式は線型常微分方程式の解によって平坦曲面を与える公式であるが,これを用いて正則データ(ここでは双曲的ガウス写像とcanonical form)の微分のみによって曲面を与える公式を導いた.これは平均曲率1の曲面の場合の"Smallの公式"の対応物である.一方,双曲的ガウス写像を,単位法線方向に両向きに延びる測地線が与える理想境界上の点の組と見なし,これを用いて曲面を再現する公式を導いた.
一般に双曲型空間の完備平坦曲面はホロ球面と円筒に限るが,上記の公式を用いると特異点を含む非自明な平坦曲面の例をたくさんつくることができる.このような例を含む平坦曲面のクラスを,双曲型空間の単位余接バンドルへのルジャンドルはめ込みの射影(フロント)として定義し,平坦フロントの理論の枠組みをつくった.
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[Publications] W.Rossman, M.Umehara, K.Yamada: "Mean curvature 1 surfaces in hyperbolic 3-space with low total curvature II"Tohoku Mathematical Journal. 55. 375-395 (2003)
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[Publications] M.Kokubu, M.Umehara, K.Yamada: "An elementary proof of Small's formula for null curves in PSL(2,C) and an analogue for Legendrian curves in PSL(2,C)"Osaka Journal of Mathematics. 40. 687-715 (2003)
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[Publications] W.Rossman, M.Umehara, K.Yamada: "Constructing mean curvature 1 surfaces in H^3 with irregular ends"Cray Mathematics Proceedings. (to appear). (2003)
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[Publications] M.Kokubu, M.Umehara, K.Yamada: "Flat fronts in hyperbolic 3-space"Pacific Journal of Mathematics. (to appear). (2004)
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[Publications] W.Rossman, M.Umehara, K.Yamada: "Mean curvature 1 surfaces in hyperbolic 3-space with low total curvature II"Hiroshima Journal of Mathematics. (to appear). (2004)
