微分方程式と部分多様体論

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540090
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 宮岡 礼子 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (70108182)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 大津 幸男 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (80233170) ; 長友 康行 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (10266075) ; 山田 光太郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10221657) ; 木村 真琴 島根大学, 総合理工学部, 教授 (30186332) ; 石川 剛郎 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50176161)
• Keywords: 等径・等質超曲面 / ガウス写像 / 例外ホロノミー / 平均曲率一定曲面 / 全曲率 / 距離空間のモジュライ / 四元数ケーラー多様体 / ラグランジュ・ルジャンドル部分多様体

Research Abstract

宮岡は,等質及び等径超曲面の研究を行い,主曲率が6つの場合と3つの場合の関係を導くことにより,13次元球面と7次元球面の間のある関係を見いだした.これは以前に石川-木村と共に行ったガウス写像が退化する部分多様体の研究結果の拡張になっている.さらに例外群G_2が現れる部分に着目することにより,ホロノミー群がG_2の完備計量をもつ開多様体の例としてS^∧7-CP^∧2が得られることを示した.このことから,Calabi予想の実版ともいえる,リッチ正のコンパクトリーマン多様体からどのような部分を除けば,ホロノミー群がG_2の完備計量が入り,またどんなグリューイングによりそれをコンパクトにできるかという問題を提起した.
山田は,3次元双曲空間の平均曲率1をもつ曲面のうち,絶対全曲率・双対絶対全曲率が小さいものを分類し,また特異点をもつ平坦な曲面のあるクラス(flat front)を定義し,その理論を構築した.
長友は,四元数ケーラー多様体上のゲージ理論にとって本質的であると思われる反自己双対接続のモジュライ空間のコンパクト化と部分多様年との関係に関して新たな結果を得た。
大津は,距離空間のモジュライ空間の性質を明らかにするため,ネット近似を行い,隣接行列(あるいはラプラシアン)を用いる新たな知見を得た,石川はガウス写像が退化する部分多様体を研究し,ルジャンドル特異点論の立場から,これを論じた.また,ラグランジュ・ルジャンドル部分多様体の特異性の分類と分岐を調べた.
木村はS^∧2×S^∧2内のラグランジュ極小曲面の存在と合同性について研究し,ある非線形の常微分方程式の解からこの曲面が構成できることを示した。

Research Products

• [Publications] Masatoshi Kokubu: "Flat fronts in hyperbolic 3-space"Pacific Journal of Mathematics. To appear. (2004)
• [Publications] Masatoshi Kokubu: "An elementary proof of Small's formula for null curves in PSL(2,C) and an analogue for Legendrian curves in PSL(2,C)"Osaka Journal of Mathematics. 40. 687-715 (2003)
• [Publications] Wayne Rossman: "Mean curvature 1 surfaces in hyperbolic 3-space with low total curvature II"Tohoku Mathematical Journal. 55. 375-395 (2003)
• [Publications] Masatoshi Kokubu: "Minimal surfaces that attain equality in the Chern-Osserman inequality"Contemporary Mathematics. 308. 223-228 (2002)
• [Publications] Masatoshi Kokubu: "An analogue of minimal surface theory in SL(n, C)/SU(n)"Transactions of the American Mathematical Society. 354. 1299-1325 (2002)
• [Publications] Wayne Rossman: "Mean curvature 1 surfaces in hyperbolic 3-space with low total curvature I"Hiroshima Journal of Mathematics. To appear. (2004)
• [Publications] G.Ishikawa: "Perturbations of Caustics and Fronts"BANACH CENTER PUBLICATIONS. 62. 101-116 (2004)
• [Publications] G.Ishikawa: "Submanifolds with degenerate Gauss mappings in spheres"Advanced Study in Pure Mathematics. 137. 115-149 (2002)
• [Publications] I.Bogaevskii: "Lagrange mappings of the first open Whitney umbrella"Pacific Journal of Mathematics. 203. 115-138 (2002)
• [Publications] Y.Nagatomo: "Instanton moduli on the quaternion K\"ahler manifold of type $G_2$ and singular set"Mathematische Zeitschrift. 243. 243-261 (2003)
• [Publications] Y.Nagatomo: "Dimensional reduction and momentum maps"Journal of Geometry and Physics. 41. 208-223 (2002)
• [Publications] Y.Nagatomo: "Singular set of ideal instantons and Poincar\'e duality"Tsukuba Journal of Mathematics. 26. 39-47 (2002)
• [Publications] Y.Nagatomo: "Geometry of the Twistor Equation and its Applications"Contemporary Mathematics. 309. 165-176 (2002)
• [Publications] Makoto Kimura: "Space of geodesics in hyperbolic spaces and Lorentz numbers"Memoirs of The Faculty of Science and Engineering SHIMANE UNIVERSITY. 36. 61-67 (2003)
• [Publications] Martin Guest: "DIFFERENTIAL GEOMETRY AND INTEGRABLE SYSTEMS, CONTEMPORARY MATHEMATICS vol.308"Americam Mathematical Society. 349 (2002)
• [Publications] Martin Guest: "INTEGRABLE SYSTEMS, TOPOLOGY, AND PHYSICS, CONTEMPORARY MATHEMATICS vol.309"Americam Mathematical Society. 324 (2002)
• [Publications] 宮岡礼子: "Theory of Lie Groups and Manifolds"上智大学数学講究録. 136 (2003)
• [Publications] 山田光太郎: "曲線と曲面"裳華房. 224 (2002)