2017 Fiscal Year Annual Research Report
Application of the theory of motives to various cohomology theories and period integral
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15H02048
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
寺杣 友秀 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50192654)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松本 圭司 北海道大学, 理学研究院, 教授 (30229546)
志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
ガイサ トーマス 立教大学, 理学部, 教授 (30571963)
齋藤 秀司 東京工業大学, 理学院, 教授 (50153804)
木村 健一郎 筑波大学, 数理物質系, 講師 (50292496)
花村 昌樹 東北大学, 理学研究科, 教授 (60189587)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | モチーフ / 周期積分 / 代数的サイクル / ホッジ理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
超幾何関数3F2においてある条件を満たす有理指数変数の1における特殊値の代数性について考察した。有理指数変数の条件はあるフェルマー曲面に関するホッジ・サイクル条件と一致する。上記特殊値は対数関数の代数的数における特殊値および代数的数の代数体上の一次結合に書けることが朝倉・大坪・寺杣によって証明されていたが、その明示公式が問題となっていた。ホッジ・サイクル条件を満たす有理指数変数の分類が青木・塩田によってなされており、例外型と呼ばれるもの以外はI型からIV型に分類されている。本年は例外型以外の場合の明示公式を与えた。代数的サイクルの明示式を頼りにそこに対数的極を持つ微分形式とストークスの定理により明示公式が得られ、これはワトソンの公式(I型）の一般化となっている。
Appellのn変数超幾何関数F4の満たす微分方程式はある超平面配置の補空間のある商空間で非特異な解に解析接続される。その空間の補空間の商空間の基本群はn=3まで金子・後藤により計算されており、nが4以上の場合は生成元と関係式の予想がされてた。
本年はこの予想が正しく、具体的な生成元の形で与えた。手法としてはSalvetti complexを用いるものである。さらに具体的な計算に乗せるために、商超平面配置にうまく半順序をいれ、それをもとにspanning complexを導入するところが工夫した。とくに有限群の作用があるのでその作用に関して同変的な位相的モデルをとることができるところがネックになっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Beilinson-Goncharov-Shechitman-Varchenko によって定義された、青本多重対数関数
ホッジ構造は混合テイト・ホッジ構造となることが知られている。本年はこれをホッジ実現として導く混合テイト・モチーフをブロック・クリス・ホップ代数上の余加群として構成した。そのためには、まずアファイン空間からなる微分次数複体をモチーフのなすの微分次数圏として構成しておき、ホモトピー修正の手法をもちる。そのためには、アファイン空間内の一点、およびそこへのホモトピーをとり、さらにそのホモトピーを用いて体サイクル複体の微分次数複体へと修正するというものである。
代数多様体の自己同型群の有限生成部分群であって、連結成分部分群との共通部分が有限生成ではないものの例を構成した。
さらに多重ゼータ値に関するブロードハースト予想に関連して楕円曲線上の久我族のコホモロジーと深さフィルトレーションを結びつけるためのサンドイッチ解消が有用であることがわかってきた。これらを結びつけるためには楕円曲線の退化と射影直線から3点を除いた空間の関係をつけることが必要不可欠で、そのためには単に楕円曲線のモジュライではたりず、３点構造を込めた楕円曲線のモジュライが必要であること、さらにモジュライの境界の状況と接線的起点を高次元についても考える必要があることがわかった。いくつかのモジュライ同士の関連が今後より詳しくけんきゅうされなければならないことがわかってきた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究方針としては、サンドイッチ解消がうまく動作するような枠組みを考えなくてはならない。そのためには種々のモジュライの間の関係をよく理解する必要がある。空間の写像に関するホップ代数の関係はサンドイッチ解消と同様のもで記述できる。さらに一点を除いた楕円曲線の基本群のホップ代数はバー複体をつかって記述できるので、青本多重対数のときに用いたホモトピーの議論を用いてどのような形であらわされるかは完全に記述される。記述の際にはホモトピーを与える有理関数がテータ関数であらわされることが分かっているので、フィルトレーションの予想が完全にわかる形までは難しくとも、上からの評価あるいは下からの評価ができる可能性が残っているのでこれに関して考察を行うのが喫緊の課題である。
高次元多様体の巡回被覆のコホモロジーの行列式に関して以前に斎藤ー寺杣の行列式公式が周期に関して証明されているが、これが代数的対応からくるのかという問題に関して、ヒントとなる方法がみつかった。この問題に関して、ルレイ型の局所系のコホモロジーと行列式の関係がわかることがネックとなることがわかった。これまでの証明がフーリエ変換を用いることが避けられなかったが、この関係自身がわかれば大きなヒントとなる。最終的にこれは群のコホモロジーの問題に帰着することがわかってきたので、今後はこの方向を追及する。
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