2018 Fiscal Year Annual Research Report
Application of the theory of motives to various cohomology theories and period integral
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15H02048
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
寺杣 友秀 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50192654)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松本 圭司 北海道大学, 理学研究院, 教授 (30229546)
志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
ガイサ トーマス 立教大学, 理学部, 教授 (30571963)
齋藤 秀司 東京工業大学, 理学院, 教授 (50153804)
木村 健一郎 筑波大学, 数理物質系, 講師 (50292496)
花村 昌樹 東北大学, 理学研究科, 教授 (60189587)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | a |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ブロック・クリズの論文の中で彼らはブロック・クリズ・ホップ代数と呼ばれるホップ代数を構成し、混合テイトモチーフの圏をそのホップ代数上の余加群の圏として定義した。本年度はブロック・トタロによるポリログ余加群の構成で用いられた代数的サイクルを生み出すホモトピー的手法を編み出した。さらにその手法を用いることによりベイリンソン・ゴンチャロフ・シェヒトマン・バルチェンコによって定義された青本多重対数に付随するブロック・クリズホップ代数上の余加群の明示的な記述を得た。
DをQ上、モチビック多重ゼータ値で生成されたベクトル空間を円周率の2乗で生成されたイデアルで割った空間とする。D内で深さが与えられた整数d以下のモチビック多重ゼータで生成された部分空間として深さフィルトレーションが定まる。ブロードハースト・クライマーは重さ$n$と深さdの多重ゼータ値の空間の次元の母関数に関する予想をたてた。この予想に楕円尖点形式の次元が現れることから、混合楕円モチーフが混合テイトモチーフに影響を与えていることが示唆される。他方3点付き楕円曲線のモジュライ上の混合楕円モチーフをつかさどるホップ代数がハインによる相対バー複体により構成されている。そして、穴あき普遍楕円曲線の基本群の普遍包絡環には、このホップ代数上の余加群の構造が導入される。
我々は退化楕円曲線の基本群と射影直線から3点を除いたものの基本群の関係を与えた。さらにこの関係に明確な説明をあたえるために、サンドイッチ解消という自由結合代数上の自由解消を導入した。これはブロードハースト・クライマー予想に現れる母関数を生み出すものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
朝倉・大坪との共同研究においてある超幾何関数の$1$における値は指数パラメータがある条件を満たす時に、代数的数の対数関数と代数的数の一次結合の形にかけることを証明した。この条件はあるフェルマー曲面のホッジサイクルと関連するものになっている。
本年度は青木・塩田の明示的代数的サイクルを使うことにより、明示的公式をえることに成功した。
Appellのn変数超幾何関数$F_4$の満たす微分方程式はある超平面配置の補空間のある商空間で非特異な解に解析接続される。その空間の補空間の商空間の基本群はn=3まで子・後藤により計算されており、$n$が4以上の場合は生成元と関係式の予想がされていた。本年はこの予想が正しく、具体的な生成元の形で与えた。手法としてはSalvetti complexを用いるものである。さらに具体的な計算に乗せるために、商超平面配置にうまく半順序をいれ、それをもとにspanning complexを導入するところが工夫したところである。
Beilinson-Goncharov-Shechitman-Varchenko によって定義された、青本多重対数関数ホッジ構造は混合テイト・ホッジ構造となることが知られている。本年はこれをホッジ実現として導く混合テイト・モチーフをブロック・クリス・ホップ代数上の余加群として構成した。そのためには、まずアファイン空間からなる微分次数複体をモチーフのなすの微分次数圏として構成しておき、ホモトピー修正の手法をもちる。そのためには、アファイン空間内の一点、およびそこへのホモトピーをとり、さらにそのホモトピーを用いて体サイクル複体の微分次数複体へと修正するというものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
超幾何関数3F2の1のある条件を満たす有理指数変数の$1$における特殊値の代数性について考察した。有理指数変数の条件はあるフェルマー曲面に関するホッジ・サイクル条件と一致する。上記特殊値は対数関数の代数的数における特殊値および代数的数の代数体上の一次結合に書けることが朝倉・大坪・寺杣によって証明されていたが、その明示公式が問題となっていた。ホッジ・サイクル条件を満たす有理指数変数の分類が青木・塩田によってなされており、例外型と呼ばれるもの以外はI型からIV型に分類されている。いままでの研究で例外型以外の場合の明示公式を与えた。代数的サイクルの明示式を頼りにそこに対数的極を持つ微分形式とストークスの定理により明示公式が得られ、これはワトソンの公式(I型）の一般化となっている。今後の課題として、I型からⅣ型に含まれない例外型の場合の研究が残っているので今後はそれに取り組みたい。より具体的には例型の多くの場合は楕円曲面の構造と関連しているものがおおくあり、これに付随して代数的サイクルを構成して、これまで考えてきたポアンカレ留数の技術を使うという方針である。
またブロードハースト・クライマー予想に関してサンドイッチフィルトレーションと楕円フィルトレーションの間に直接の関係がいまだ見いだせていないが、中間に自然なバー複体が考えられ、自然フィルトレーションがみられる。今後は接線的起点との関連からこの中間のフィルトレーションを見つけ出すことが可能かどうかを見極める方向で研究を進める。
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