Application of the theory of motives to various cohomology theories and period integral

2019 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15H02048
• Research Institution: Hosei University
• Principal Investigator: 寺杣 友秀 法政大学, 理工学部, 教授 (50192654)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 松本 圭司 北海道大学, 理学研究院, 教授 (30229546) ; 志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204) ; ガイサ トーマス 立教大学, 理学部, 教授 (30571963) ; 齋藤 秀司 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50153804) ; 木村 健一郎 筑波大学, 数理物質系, 講師 (50292496) ; 花村 昌樹 東北大学, 理学研究科, 教授 (60189587)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: ホッジ予想 / モジュライ空間 / 代数的サイクル

Outline of Annual Research Achievements

アーベル多様体におけるホッジ予想においてヴェイユのホッジサイクルの代数性は大きな課題の一つである。ヴェイユの提出した例を一般のCM体に関するユニタリ群の場合に拡張したものを考える方が統一的に扱いやすい。この一般化が解決されると、CMタイプのアーベル多様体のホッジ予想が解決されることがしられている。このように一般化されたヴェイユホッジサイクルのなかでも数論的に興味深いのは考えているCM体が円分体の場合である。
CM体の場合に一般化されたヴェイユホッジ予想が示されれば、まずオリジナルな意味でのヴェイユホッジサイクルの代数性が導かれる。さらに円分的CMタイプのアーベル多様体についてホッジ予想が証明される。その系としてフェルマー多様体のホッジ予想が従う。さらに4次元あるいは5次元のアーベル多様体すべてについてのホッジ予想がしたがう。
ホッジサイクルの研究には代数的対応を考えることで系統的に考えることができ、さまざまな操作についてとじているので、都合がよく、特別な場合に示すことにより、柔軟に一般化がされる。これまで種々のヴェイユホッジサイクルの代数性がしられてきたが、これらはモジュライ空間の次元で考えると非常に限られた範囲であった。
本年度の研究で、曲線の被覆、そのヤコビアン、アーベル多様体の変形を考えることにより、新しい代数的サイクルが見つかった。これは円分体のヴェイユホッジサイクルを考える上で非常に重要な役割をもつものと期待している。

Research Progress Status

令和元年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和元年度が最終年度であるため、記入しない。