2015 Fiscal Year Annual Research Report
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15H03607
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
藤原 一宏 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (00229064)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
加藤 文元 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (50294880)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | リジッド幾何学 / 数論幾何学 / 代数幾何学 / モチーフ理論 / 可換環論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成27年度は UAP 空間の基礎的な性質およびそれに関連して生じた問題について研究した.
UAP環の一般論もほぼ完成し, その意外な特徴づけが得られた. 結論は簡明であり, UAP な adic 環は普遍リジッドネーターadic 環と同じである. これにより従来取り組んでいた基礎づけの枠組みが十分一般であることが保証され, かつ新しい視点が導入されることになる.
さらに関連した性質として形式幾何学における proper dominant descent, つまり固有かつ支配的な形式スキームの射 $f: X \to Y $ により $X$ の良い性質が $Y$ の良い性質に伝染するか, を研究した (例えば $f$ がスキームの有限射であるとき $X$ のネーター性は $Y$ のネーター性を導く (Eakin-Nagata の定理)). 特に UAP性に対しこの問題を考察し, 部分的な成果を得た. これらの結果については 2015 年 8月にタヒチで行われた国際研究集会「Non archimedean analytic Geometry: Theory and Practice」においてタイトル「Proper dominant descent in rigid geometry」で口頭発表を行った. 論文などは準備中である.
Proper dominant descent は $K$-理論やモチーフ理論においても重要な性質であり, 考察の結果 $K$-理論やモチーフ理論における cdh-topology の理論とリジッド幾何学で使われる位相の類似性という視点も得られ, 今後重要な指針になると考えている.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
２７年度は当初からUAP空間についての基礎づけを行うことが目的であったが, 普遍リジッドネーター性との同値性が確立された結果, Raynaud-Gruson 型平坦化定理など, 多くの基礎的な定理が UAP空間の範囲で成立することなどが導けるようになった. Artin 型の近似定理に関する問題など, 完全な解析が終わっていないものはあるが, 概ね順調であると考えている.
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| Strategy for Future Research Activity |
UAP空間の proper dominant descent を考察した結果, 数論幾何学における様々な理論や, 代数 K-理論・モチーフ理論との関係が明らかになりつつある.
そこで今年度はリジッド幾何学の基礎研究を続ける一方, このように新たに生じてきた関連を視野に入れていきたい. 特に K-ホモロジーの proper dominant descent の研究には非特異な空間による分割 (stratification) が必要とされるため, 「空間の分割をリジッド幾何学でコントロールしながら空間全体を再構成する」という本研究課題の主題をなす「分割の幾何学 (stratified geometry)」の具体例の一つとして確立したいと考えている. そのためには K-理論やモチーフ理論の専門家との連携が必要であり, 本年度に予定されている関連研究集会を支援し, 海外から有力研究者を招聘・研究交流を行うことも予定している.
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