2016 Fiscal Year Annual Research Report
A new development of mathematical theory of Discontinuous Galerkin FEM
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15H03635
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
齊藤 宣一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (00334706)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松尾 宇泰 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 教授 (90293670)
小林 健太 一橋大学, 大学院商学研究科, 教授 (60432902)
村川 秀樹 九州大学, 数理学研究院, 助教 (40432116)
柏原 崇人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任助教 (80771477)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 有限要素法 / 有限体積法 / 不連続ガレルキン法 / 楕円型界面問題 / 誤差解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
不連続Galerkin法は，標準的な有限要素法などと比べてL^2やエネルギーノルム以外のノルムを用いた解析はあまり行われていない．これが、非線形問題への解析があまり進まない一つの原因となっている。本年度は、多角形領域，特に非凸の場合におけるPoisson方程式について，不連続Galerkin法のひとつであるSIPG法の最大値ノルムでの誤差評価を離散弱最大値原理に基づいた方法で導出した（院生・千葉氏と共同研究）。このほかに、楕円型界面問題のHDGについて、解が分数べきソボレフ空間に属する場合の誤差評価の導出に成功した（宮下氏と共同研究）。
分担者・松尾は、主に混合微分を含む偏微分方程式に対する差分解法に関する研究を行い，平均化差分法と称する新しい差分法が有効であることを発見した。
分担者・小林は、四面体上のLagrange補間誤差について、射影外接半径という幾何学的な量を定義することにより、四面体の形状に関わらず適用可能な誤差評価を得ることができた。
分担者・村川は退化放物型方程式や非線形交差拡散系を含む一般の非線形拡散問題に対する線形数値解法を提案し、誤差評価を含めた解析を行った。提案解法は、実装が容易であり、計算コストが安く、高速に計算できるにもかかわらず、既存の非線形解法と同程度の精度が得られる、非常に有用な解法である。更に、生命現象の解明に向けた応用を行った。
滑らかな領域における有限要素近似では，厳密な三角形分割が一般に不可能になるため，曲がった境界を多角形で近似する際に生じる誤差を考慮する必要がある．特に，このような状況でノイマン境界条件問題を考える場合，エネルギーノルム以外のものを用いた誤差評価はほとんど知られていなかった．分担者・柏原は、はポアソン方程式に対してこの問題を考察し，W{1,infty}ノルムで最適な誤差評価が得られることがわかった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
不連続ガレルキン法の基礎的な内容について、すでに結果が数本の論文となっている。分担者による応用研究も順調である。
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| Strategy for Future Research Activity |
代表者、分担者ともに進捗は順調だが、方向性が散漫にならないように、ワークショップを開くなどして、問題の整理と、目的意識の統一をはかりたい。
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