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2017 Fiscal Year Annual Research Report

A new development of mathematical theory of Discontinuous Galerkin FEM

Research Project

Project/Area Number 15H03635
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

齊藤 宣一  東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (00334706)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 松尾 宇泰  東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 教授 (90293670)
小林 健太  一橋大学, 大学院経営管理研究科, 教授 (60432902)
村川 秀樹  九州大学, 数理学研究院, 助教 (40432116)
柏原 崇人  東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (80771477)
Project Period (FY) 2015-04-01 – 2019-03-31
Keywords不連続Galerkin法 / 有限要素法 / 誤差解析
Outline of Annual Research Achievements

本年度は、DG time-stepping法の解析で大きな成果がえらえた。本研究では、抽象的な放物型発展方程式を考え、変分法的な解析を行なった。具体的には,Banach-Necas-Babuska (BNB) 定理に基づいて,DG双線形形式に対して,inf-sup条件を導出し,準最良近似評価式の成立を証明した.さらに,標準的な補間誤差評価と組み合わせることで,最適誤差評価を得ることができた.一方,Isogeometric Analysisへの応用を念頭に、非定常移流拡散問題を対象にして、非斉次のDirichlet境界条件を,現実的な数値計算において実現するためのNitscheの方法について、その収束性をBNB定理に基づいた変分法的な手法で研究した。分担者・松尾は、ハイブリッド不連続ガレルキン法に基づく構造保存解法を並列計算機上に実装し、構造保存性を保ちつつ、高速化が図れることを実証した。分担者・村川は非線形拡散問題に対する線形数値解法についての研究を進め、その線形解法を応用上重要な非線形拡散-移流-反応方程式に適用した。その問題に対して解析解を構成し、数値解と解析解を比較することにより、線形解法の収束性及び有用性を実証した。分担者・小林は、Raviart-Thomas有限要素法について、誤差評価を行った。その結果として、Crouzeix-Raviart補間は三角形の最大辺の長さによって誤差が押さえられるにも関わらず、Crouzeix-Raviart有限要素法の場合には三角形の外接半径が誤差に大きく影響することがわかった。分担者・柏原は、Stokes方程式において、滑らかな領域上の滑り境界条件を扱うためのペナルティー法(法線方向のみに課されたDirichlet型境界条件をRobin型で近似する方法)を時間非定常問題に拡張し、偏微分方程式問題と有限要素近似の解析を行った。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

年度はじめに定めた計画が概ね達成されている。

Strategy for Future Research Activity

計画通りに推進する。

  • Research Products

    (47 results)

All 2018 2017

All Journal Article (8 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Peer Reviewed: 8 results) Presentation (39 results) (of which Int'l Joint Research: 16 results,  Invited: 18 results)

  • [Journal Article] An efficient linear scheme to approximate nonlinear diffusion problems2018

    • Author(s)
      H. Murakawa
    • Journal Title

      Jpn. J. Ind. Appl. Math.

      Volume: 35(1) Pages: 71-101

    • DOI

      10.1007/s13160-017-0279-3

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Some discrete inequalities for central-difference type operators2017

    • Author(s)
      H. Kojima and T. Matsuo and D. Furihata
    • Journal Title

      Math. Comp.

      Volume: 86(306) Pages: 1719-1739

    • DOI

      10.1090/mcom/3154

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Approximating surface areas by interpolations on triangulations2017

    • Author(s)
      K. Kobayashi and T. Tsuchiya
    • Journal Title

      Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics

      Volume: 34(2) Pages: 509-530

    • DOI

      10.1007/s13160-017-0253-0

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A penalty method for the time-dependent Stokes problem with the slip boundary condition and its finite element approximation2017

    • Author(s)
      G. Zhou and T. Kashiwabara and I. Oikawa
    • Journal Title

      Appl. Math.

      Volume: 62 Pages: 377-403

    • DOI

      10.21136/AM.2017.0328-16

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Strong time-periodic solutions to the 3D primitive equations subject to arbitrary large forces2017

    • Author(s)
      G. P. Galdi and M. Hieber and T. Kashiwabara
    • Journal Title

      Nonlinearity

      Volume: 30 Pages: 3979-3992

    • DOI

      10.1088/1361-6544/aa8166

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] An efficient linear numerical scheme for the Stefan problem,the porous medium equation and nonlinear cross-diffusion systems2017

    • Author(s)
      M. Molati and H. Murakawa
    • Journal Title

      Proceedings of Equadiff 2017 Conference

      Volume: 1 Pages: 305-314

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Carbon-nanotube geometries as optimal configurations2017

    • Author(s)
      E. Mainini,H. Murakawa,P. Piovano and U. Stefanelli
    • Journal Title

      Multiscale Modeling and Simulation: A SIAM Interdisciplinary Journal

      Volume: 15(4) Pages: 1448-1471

    • DOI

      10.1137/16M1087862

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Finite volume methods for a Keller-Segel system: discrete energy, error estimates and numerical blow-up analysis2017

    • Author(s)
      G. Zhou and N. Saito
    • Journal Title

      Numerische Mathematik

      Volume: 135 Pages: 265~311

    • DOI

      10.1007/s00211-016-0793-2

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 不連続Galerkin時間離散化法の変分法的な解析2018

    • Author(s)
      齊藤宣一
    • Organizer
      日本数学会(応用数学分科会)
  • [Presentation] 放物型問題のNitsche’s methodに対するinf-sup条件及び誤差評価について2018

    • Author(s)
      上田祐暉,齊藤宣一
    • Organizer
      日本数学会(応用数学分科会)
  • [Presentation] Variational analysis of the discontinuous Galerkin time-stepping method for parabolic equations2018

    • Author(s)
      N. Saito
    • Organizer
      International Workshop on Numerical Methods for Partial Differential Equations
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Global strong well-posedness of the primitive equations in $L^\infty_{xy}L^p_z$-type spaces2018

    • Author(s)
      T. Kashiwabara
    • Organizer
      The 15th Japanese-German International Workshop on Mathematical Fluid Dynamics
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Finite element analysis for a generalized Robin boundary value problem in a smooth domain2018

    • Author(s)
      T. Kashiwabara
    • Organizer
      Numerical Analysis: Applications to Biomedical Problems and Foundations
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 南部括弧に基づく構造保存数値解法に関する一考察2018

    • Author(s)
      杉渕優也 松尾宇泰 佐藤峻
    • Organizer
      日本応用数理学会2018年研究部会連合発表会
  • [Presentation] 散逸型微分方程式に対する各種モデル縮減手法の検討2018

    • Author(s)
      柳澤広大 松尾宇泰
    • Organizer
      日本応用数理学会2018年研究部会連合発表会
  • [Presentation] Toward Modern Scientific Computations Based on Structure-Preserving Methods2018

    • Author(s)
      T. Matsuo and Y. Miyatake
    • Organizer
      SIAM PP 2018
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] The relation between Crouzeix-Raviart and Raviart-Thomas finite element methods2018

    • Author(s)
      K. Kobayashi
    • Organizer
      International Workshop on Numerical Methods for Partial Differential Equations
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] 万能の有限要素はあるか?2018

    • Author(s)
      小林健太
    • Organizer
      北陸応用数理研究会2018
  • [Presentation] The relation between Crouzeix-Raviart and Raviart-Thomas finite element methods2018

    • Author(s)
      K. Kobayashi
    • Organizer
      Australia New Zealand Industrial and Applied Mathematics 54th Annual Conference
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] 細胞間接着の数理モデル2018

    • Author(s)
      村川秀樹
    • Organizer
      自己組織化研究会
    • Invited
  • [Presentation] 細胞間接着の親和性と細胞パターン形成:数理的アプローチ2018

    • Author(s)
      村川秀樹
    • Organizer
      反応拡散系と実験の融合
    • Invited
  • [Presentation] 急速反応極限問題の解析2018

    • Author(s)
      村川秀樹
    • Organizer
      金沢解析セミナー
    • Invited
  • [Presentation] Convergence of the immersed-boundary finite-element method for the Stokes problem2017

    • Author(s)
      N. Saito
    • Organizer
      International Conference on Engineering and Computational Mathematics
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] L^infty error estimates of discontinuous Galerkin methods for the Poisson equation on a polygonal domain2017

    • Author(s)
      Y. Chiba and N. Saito
    • Organizer
      SIAM East Asian Section Conference 2017
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] N次元球状領域上のPoisson方程式に対する不連続Galerkin法2017

    • Author(s)
      千葉悠喜 齊藤宣一
    • Organizer
      日本応用数理学会 年会
  • [Presentation] N次元球状領域上のPoisson方程式に対する不連続Galerkin法2017

    • Author(s)
      千葉悠喜 齊藤宣一
    • Organizer
      日本数学会(応用数学分科会)
  • [Presentation] Banach--Necas--Babuskaの定理とDG time-stepping法2017

    • Author(s)
      齊藤宣一
    • Organizer
      RIMS共同研究(公開型):数値解析学の最前線:理論・方法・応用
    • Invited
  • [Presentation] 球対称Poisson方程式に対する不連続Galerkin法の各点評価2017

    • Author(s)
      千葉悠喜 齊藤宣一
    • Organizer
      応用数学合同研究集会
  • [Presentation] 有限要素法による高次元半線形熱方程式の球対称解の数値計算2017

    • Author(s)
      中西徹,齊藤宣一
    • Organizer
      応用数学合同研究集会
  • [Presentation] Lax-MilgramからBanach-Necas-Babuskaへ:DG時間離散化法の変分法的な解析2017

    • Author(s)
      齊藤宣一
    • Organizer
      愛媛大学理学部談話会
    • Invited
  • [Presentation] 数値計算に潜むトラップ2017

    • Author(s)
      齊藤宣一
    • Organizer
      日本応用数理学会・三部会連携「応用数理セミナー」
  • [Presentation] 不連続ガレルキン時間離散化手法の変分法的な解析2017

    • Author(s)
      齊藤宣一
    • Organizer
      日本応用数理学会・三部会連携「応用数理セミナー」
  • [Presentation] On the semigroup approach to the primitive equations2017

    • Author(s)
      T. Kashiwabara
    • Organizer
      MFO Workshop, Oberwolfach
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 物理系のシミュレーションにおける構造保存数値解法について2017

    • Author(s)
      松尾宇泰
    • Organizer
      核融合研MHD研究会
    • Invited
  • [Presentation] On spatial discretization of evolutionary differential equations on the periodic domain with a mixed derivative2017

    • Author(s)
      S. Sato and T. Matsuo
    • Organizer
      SciCADE2017
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Some structure-preserving discretizations of generalized Ostrovsky equation2017

    • Author(s)
      T. Matsuo
    • Organizer
      SciCADE2017
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] 混合微分を含む発展方程式の空間離散化について2017

    • Author(s)
      佐藤峻 松尾宇泰
    • Organizer
      日本応用数理学会2017年度年会
  • [Presentation] ハイブリッド不連続ガレルキン法に基づく構造保存数値解法2017

    • Author(s)
      坪井俊憲 松尾宇泰
    • Organizer
      日本応用数理学会2017年度年会
  • [Presentation] On some finite-difference based structure-preserving methods for partial differential equations2017

    • Author(s)
      T. Matsuo
    • Organizer
      EASIAM 2017
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 三角形・四面体上の補間誤差評価とその有限要素法への応用2017

    • Author(s)
      小林健太
    • Organizer
      日本応用数理学会・三部会連携「応用数理セミナー」
  • [Presentation] Crouzeix-Raviart型有限要素法の誤差解析について2017

    • Author(s)
      小林健太
    • Organizer
      RIMS共同研究(公開型):数値解析学の最前線:理論・方法・応用
    • Invited
  • [Presentation] Fast reaction limit : classification and analysis2017

    • Author(s)
      H. Murakawa
    • Organizer
      ReaDiNet 2017: International Conference on Mathematical Biology
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Modeling of cell-cell adhesion and its application2017

    • Author(s)
      H. Murakawa
    • Organizer
      Reaction-Diffusion Systems and Mathematical Modelling in Biology
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Classification and analysis of fast reaction limit problems2017

    • Author(s)
      H. Murakawa
    • Organizer
      Ito Workshop on Partial Differential Equations
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] An efficient linear scheme for the Stefan problem,the porous medium equation and nonlinear cross-diffusion systems2017

    • Author(s)
      H. Murakawa
    • Organizer
      Equadiff2017
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Numerical analysis for nonlinear diffusion problems2017

    • Author(s)
      村川秀樹
    • Organizer
      RIMS共同研究 数値解析学の最前線 :理論・方法・応用
    • Invited
  • [Presentation] 急速反応極限問題の分類と解析2017

    • Author(s)
      村川秀樹
    • Organizer
      RIMS共同研究 非線形現象と反応拡散方程式
    • Invited

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Published: 2019-12-27  

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