2018 Fiscal Year Annual Research Report
A new development of mathematical theory of Discontinuous Galerkin FEM
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15H03635
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
齊藤 宣一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (00334706)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松尾 宇泰 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 教授 (90293670)
小林 健太 一橋大学, 大学院経営管理研究科, 教授 (60432902)
村川 秀樹 九州大学, 数理学研究院, 助教 (40432116)
柏原 崇人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (80771477)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 不連続Galerkin法 / 有限要素法 / 誤差解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
T. Kato (1975)の準線形双曲型発展方程式の一般論に対応する時間離散化理論が，最近Kovacs & Lubich (2018)によって報告された．一方で，Kovacs & Lubich (2018)では，空間変数の離散化に関しては，全く手がつけられていなかった．代表者・齊藤は，空間離散化を含めた一般論の構築に向けて，S^1上の単純な1階の準線形波動方程式とその差分近似をモデル問題として，全離散理論の構築を行った．また，代表者・齊藤は大学院生・千葉と共同で，動的・力学的境界条件など，境界上で高階の微分作用素を含むような境界条件の数値解析への準備として，滑らかな境界上で定義された楕円型方程式のRobin境界値問題のNitsche法（という境界条件の安定な取り込み方法）を用いたDG法の研究に取り組み，詳細な誤差評価を導出した．分担者・村川は，細胞接着の数理モデルに関連する非線形非局所凝集拡散方程式ついての数値解析及び数理解析を行った．空間離散化法としては風上型有限体積法を採用し，数値解の非負性及びエネルギー散逸性を保つ数値解法を構成し，これらを解析的に証明した．さらに，数値解の有界性，可解性，同程度連続性，収束性などについて解析的に証明した．有限要素法を用いる利点の1つとして，曲がった境界を持つ領域上の境界値問題に適用しやすいことが挙げられる．しかし，実際には元の領域を多角形領域で近似してから三角形分割を行うため，理論的な誤差評価においては領域近似の誤差も考慮する必要がある．この点は非適合有限要素法（DG法を含む）の理論誤差解析ではほとんど考慮されていなかった．分担者・柏原は，滑り境界条件を課したStokes方程式に対するCrouzeix-Raviart有限要素近似に対して，空間2次元の場合に最適な誤差評価を導くことに成功した．
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| Research Progress Status |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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