2017 Fiscal Year Annual Research Report
Enumeration of geometric figures and its application
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15K00008
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
堀山 貴史 埼玉大学, 理工学研究科, 准教授 (60314530)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | アルゴリズム / 列挙アルゴリズム / 計算幾何学 / 展開図 / 多面体 / 選挙区割り |
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| Outline of Annual Research Achievements |
列挙アルゴリズムは、与えられた制約条件を満たす解を一つだけではなく、すべて求めるための技術である。本研究課題では、逆探索や BDD (Binary Decision Diagram; 二分決定がラフ) や ZDD (Zero-suppressed Binary Decision Diagram; 零抑制型二分決定グラフ) といった列挙の要素技術を統合して、幾何図形の列挙アルゴリズムの設計に関する研究を行った。特に、フロンティア法による ZDD のトップダウン構築において、各 ZDD ノードで記憶する情報の汎化を試みた。フロンティアの頂点数に比例した記憶領域を各 ZDD ノードが持つ従来のアルゴリズムに対し、その2乗に比例する記憶領域を利用することで、記憶領域の多少の増大 (実験的には許容範囲に収まっている) と引き換えに、代表元の判定を簡略化している。
こうした列挙アルゴリズムの設計に関する新たな知見をもとに、幾何図形の列挙に関する問題に取り組んだ。たとえば、多面体の展開図の高速な列挙アルゴリズムを利用して、一つの多角形から複数の形状の直方体が折れるような展開図の発見に成功した。1×1×7, 1×3×3, √5×√5×√5 の直方体は、いずれも表面積が 30 であり、それぞれの表面を 30個の正方形で覆うことができる。それぞれの直方体において、その正方形の辺に沿った展開をすべて列挙し、共通の形状を持つものを探索することで、上記３つの箱が折れる展開図を９種類発見することができた。また、一つの立方体の展開図を分割することで、複数の立方体の展開図を得る問題が近年に提案されている。この問題に対する洞察を深めるために、そのような分割を持つ展開図の列挙を行った。その他にも、選挙区への区割りの列挙、ひし形のタイリングの列挙、超立方体の展開図の列挙などに取り組んだ。
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