2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K04774
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
大野 泰生 東北大学, 理学研究科, 教授 (70330230)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 多重ゼータ値 / 多重ベルヌーイ数 / 反復積分 / 荒川金子ゼータ関数 / 2元3次形式 / 類数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
多重ゼータ値を正整数点での値にもつArakawa-Kanekoの多重ゼータ関数は多重対数関数を用いたRimannゼータ関数の一般化である。負整数点での値は多重ベルヌーイ数によって記述され、その意味でもRiemannゼータ関数のひとつの自然な一般化と見ることができる。2014年にこの関数の対と目されるKaneko-Tsumuraの多重ゼータ関数が定義され、先の多重ゼータ関数と同水準まで研究が進んだ。この状況下で下記の研究を遂行した。まず、Sasakiとの共同研究で零化公式を一般多重ベルヌーイ多項式まで拡張することに成功した。次に、多重ゼータ関数の正整数点での特殊値を導出した結果に対して、Kawasakiとの共同研究で山本積分を用いた組合せ論的別証明を与えた。また、Wayamaとの共同研究において両多重ゼータ関数を補間する、変数t付きの多重ゼータ関数を定義し、その正整数点での値を t-多重ゼータ値によって自然に記述するとともに、負整数点での値を従前の多重ベルヌーイ数係数のt多項式によって記述した。これは既存の多重ベルヌーイ多項式とは見かけの異なる多項式族になっており良い性質を携えている。このほか、多重ゼータ値環の標準基底問題や2元3次形式の類数に関するデータ収集と付随するゼータ関数の研究そしてグラフの自己同型群とゼータ関数に関する組合せ論的研究も継続している。
成果発表はフランス・リール第1大学にて開催された研究集会や日本数学会、代数的組合せ論シンポジウム、富山大学談話会、早稲田大学整数論研究集会、応用数学合同研究集会、また早稲田大学での連携探索型研究集会などで行った。また、京都大学数理研でRIMS研究集会「代数的整数論とその周辺」、近畿大学において「第10回多重ゼータ研究集会」、大阪大学、大阪工業大学、大阪体育大学、京都産業大学において「関西多重ゼータ研究会」を主催した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新規の結果を複数得ていると同時に、これらの結果からもたらされる新たな発見や新たな視点に基づく問題意識が芽生え続けて、全体として研究が加速している。とりわけ、多重ゼータ値と等号付き多重ゼータ値をより広い視野で括ったt補間に関する研究成果を得ており、この結果の効用は、二通り存在したベルヌーイ数の定義に付随して二通り定義されている多重ベルヌーイ数の間のt補間や、その組合せ論的再解釈へも波及している。また近年登場した山本積分により、従前の重量感のある解析的証明を、いくつかの定理に対して組合せ論的に扱い再証明できた。このように証明を単純化されることにより、現象の詳細を丁寧に把握できるようになったことは大きな進展であると考えている。またSasakiとの共同研究で得た一般多重ベルヌーイ多項式の間の零化公式は、付随するゼータ関数の零点分布の情報をもたらしており、これを基軸とした多変数ゼータ関数の再定式化と解析的理論解明という重要な新課題をもたらしている。また、多重ゼータ値や荒川金子型ゼータ関数の特殊値の積分表示のハッセ図としての理解と、多重ベルヌーイ数から組合せ論的解釈を通しての有向完全２部グラフとしての理解は、ともに半順序集合の数学であってこれらの間に隠された、対称性を保存するような関係の解明は、新たに出会った重要な課題である。また虚2次体上での2元3次形式の類数に関する収集中のデータは新たな類同士の関係のつくるスパイラル構造を暗示している。これらを含め、一連の研究進展により一段と深い研究課題が浮かび上がっており、これらは更に精度の高い研究進展に不可欠なものとなっている。これらの研究成果は、フランスでの研究集会を含む7回の講演で発表した。
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| Strategy for Future Research Activity |
課題としている虚2次体上の2元3次形式に関するデータ集約と実験を進めるとともに入手したデータに基づく各類の間の連関関係とりわけ、Taniguchi, Wakatsukiとの共同研究の中でその存在を確認した注目すべきスパイラル構造について明示的な関係の記述および証明を目指す。また、多重ゼータ値に付随する荒川金子型ゼータ関数の一次結合によって定義される多重ゼータ関数として、多重ベルヌーイ数に対してSasakiと行った研究に基づけば、任意個数の連続した整数点を零点とするものを定義できることになるため、このように定義される関数の特に正整数点での値の記述について研究を推進する。Wayamaと行った荒川金子型ゼータ関数のt補間によって、新たな多重ベルヌーイ数係数の多項式が定義されており重要な性質の遺伝が見込まれるので、この多項式族のもつ数論的性質および組合せ論的性質について究明を進める。とりわけ、ベルヌーイ多項式において明瞭な微分関係式の一般化やオイラーマクローリン型の定理の一般化についても視野に入れて取り組む予定である。また多重ゼータ値に付随する2変数非可換多項式環の2種類の乗法に対する一般複シャッフル関係式族からの双対関係式の導出問題、さらにはこの環における標準基底の定式化の研究を推進する。また近年の研究成果を統合することによって、2色半順序集合間に荒川金子型ゼータ関数を橋渡しとする対称性に優れた関係が示唆されているので、この構造的解明にも取り組みたい。これは現段階では謎の多い新課題ではあるが、複シャッフル関係式から見た場合に謎の多い双対構造の解明に重要な貢献をなす問題である可能性があり見逃せない。これらの研究の成果は、日本数学会や多重ゼータ研究会、組合せ論シンポジウムなどで発表するとともに論文化できたものから順に投稿を行う予定である。
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