2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K04780
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
星 裕一郎 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (50456761)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 圏論的特徴付け / 副p絶対遠アーベル幾何学 / 遠アーベル予想 / 組み合わせ論的遠アーベル幾何学 / GT群 / 単遠アーベル幾何学 / p進Teichmuller理論 / 超特異因子 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
「研究の目的」で述べた「遠アーベル幾何学の更なる発展」に対する研究として、まず最初に、局所体の同型類の圏論的特徴付けの研究を行った。(論文投稿中)次に、双曲的曲線の副p絶対遠アーベル幾何学を発展させ、双曲的曲線に付随する様々な情報の副p群論的復元アルゴリズムを確立した。その帰結として、通常射影的双曲的曲線の良還元の存在の副p遠アーベル判定法を与えた。(論文投稿中)次に、木下亮氏と中山能力氏との共同研究により、これまで研究してきた多重双曲的曲線に対する遠アーベル幾何学の応用として、付加構造付き楕円曲線のモジュライ空間に対する遠アーベル予想を解決した。(論文掲載確定)次に、南出新氏と望月新一氏との共同研究によって、組み合わせ論的遠アーベル幾何学を発展させた。特に、双曲的曲線の配置空間の基本群から、付随する幾何学的数値的不変量や一般化ファイバー部分群を純群論的に復元することに成功した。また、そういった群論的復元の帰結として、GT群(Grothendieck・Teichmuller群)に対する従来の常識を覆すような事実を証明することができた。(論文投稿中)最後に、混標数局所体に対する単遠アーベル幾何学におけるこれまでになされてきた研究をまとめた解説を執筆した。
「研究の目的」で述べた「p進Teichmuller理論に登場する様々な概念の明示的表示を目標とした研究」に対する研究として、正標数代数的閉体上の双曲的曲線の与えられた有効因子に対して、それが巾零許容固有束や巾零通常固有束の超特異因子として得られるかどうかを判定する条件を確立した。そして、基礎体の標数や曲線の種数、無限遠因子の次数が小さい場合には、巾零許容固有束や巾零通常固有束の超特異因子を明示的に理解することに成功した。そして、この明示的表示を用いて、数値的不変値が小さい場合の双曲的曲線の双曲的通常性を証明した。(論文投稿中)
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
「研究の目的」で述べた「p進Teichmuller理論に登場する様々な概念の明示的表示を目標とした研究」に関する研究は、計画のとおりの成果を実現することができたと考えられる。また、「研究の目的」で述べた「遠アーベル幾何学の更なる発展」に関する研究として、これまでに行ってきた双曲的多重曲線に対する遠アーベル幾何学の研究の応用として、付加構造付き楕円曲線のモジュライ空間に対する遠アーベル予想が解決できたことには一定の意義があるように思われる。また、復元アルゴリズム的観点による副p絶対遠アーベルの発展に寄与できたことにも一定の評価ができると考えられる。そして、組み合わせ論的遠アーベル幾何学の研究において、当初はまったく想定していなかったGT群に対する驚くべき事実が証明できたことは大変意義深い。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度の研究実施計画のとおりの研究を行っていこうと考えている。特に、数論的な設定における遠アーベル幾何学の更なる発展、そして、様々な数値的不変量が小さい場合のp進Teichmuller理論の更なる明示的理解が研究の中心となる予定である。また、それらに加えて、数論的な設定における遠アーベル幾何学のある種の組み合わせ論化の研究を行おうと考えている。
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| Causes of Carryover |
研究遂行の際の物品費が当初計画よりも小さくなったため、次年度使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度使用額は、外国人研究者の招聘のための費用や、あるいは、旅費に充当される予定である。
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