Representation theoretical Research on Cluster algebras and crystal bases

2020 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 15K04794
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Sophia University
• Principal Investigator: Nakashima Toshiki 上智大学, 理工学部, 教授 (60243193)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 中筋 麻貴 上智大学, 理工学部, 准教授 (30609871) ; 五味 靖 上智大学, 理工学部, 准教授 (50276515)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 結晶基底 / クラスター代数 / 幾何結晶 / 熱帯化 / ２重Bruhat cell

Outline of Final Research Achievements

We studied on the subject of the relation between cluster algebras and crystal bases by using the method of monomial realizations and polyhedral realizations among 2015~2020.
We succeeded in describing the initial cluster of the cluster algebras on double Bruhat cells in terms of monomial realizations of certain Demazure crystals. Moreover, for type A, we also succeeded in describing all cluster variables of the cluster algebras on the double Bruhat cell determined by Coxeter elements. We extend our interest to inducing geometric crystal structure on cluster varieties. All these results have been published in academic journals.

Free Research Field

代数学、結晶基底、量子群

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

結晶基底と現在、活発に研究が進んでいるクラスター代数との具体的な関係について明らかにした。まだまだ、わかっていないことが多いが、それだけに新しい発見が期待できる研究であるといえる。とくに、potential と呼ばれる多様体上の函数については有限次元リー代数の場合のみならず、無限次元のKac-Moody リー代数の場合にも構成ができると期待できる成果を得られた。