Research on multivariable zeta functions in number theory

2018 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 15K04800
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Tsuda University
• Principal Investigator: Sato Fumihiro 津田塾大学, 数学・計算機科学研究所, 研究員 (20120884)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 宮崎 直 北里大学, 一般教育部, 准教授 (70632412)
• Research Collaborator: Taniguchi Takashi 神戸大学, 理学研究科, 准教授 ; Nakasuji Maki 上智大学, 理工学部, 准教授 ; Ishi Hideyuki 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 ; Kogiso Takeyoshi 城西大学, 理学部, 教授 ; Sugiyama Kazunari 千葉工業大学, 情報科学部, 准教授
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 概均質ベクトル空間 / アイゼンシュタイン級数 / ゼータ関数 / 関数等式

Outline of Final Research Achievements

Several new relations between multivariable zeta functions obtained from different sources are studied, such as the zeta functions of Clifford quartic forms and the Koecher-Maass zeta functions of Eisenstein series of orthogonal groups, and prehomogeneous zeta functions and the periods of Eisenstein series. One of tools to establish such relations is converse theorem. We proved a converse theorem for Maass forms of level N of integral or half-integral weight and applied it to Shintani-Katok-Sarnak correspondence for Maass forms of level N. We also developed two methods of constructing new multivariable local zeta functions satisfying functional equations; polarization of homaloidal polynomials, and gluing of functional equations.

Free Research Field

代数学，とくに代数群の整数論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

各種のゼータ関数の相互関係は整数論における中心問題である．本研究は，この課題に多変数化されたゼータ関数という新しい視点から貢献したものであり，概均質ベクトル空間の理論と保型形式の理論を結ぶ新しい実例を構成すると同時に，既存の理論の枠を越えた非概均質的な実例の構成を行った．本研究は mission oriented ではなく curiosity driven な研究で直接の社会的意義は語りえないが，研究対象であるゼータ関数・保型形式は近年高エネルギー物理学において重要な意味を持ちつつあり，将来的には我々の自然認識の一部に組み込まれていくべきものと考えられる．