2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K04878
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
横田 佳之 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (40240197)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 交代結び目 / 体積予想 / ポテンシャル関数 / キューブ分解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結び目の体積予想とは、結び目のジョーンズ多項式の極限に、結び目補空間の双曲体積が現れる、という予想で、３次元多様体の幾何構造と量子不変量・量子群を結びつける重要な研究テーマである。本研究で扱うポテンシャル関数は、量子二重対数関数によるジョーンズ多項式の積分表示における被積分関数の主要項に現れる複素多変数関数を指し、その臨界方程式、臨界値、ヘッセ行列式等が、結び目補空間の双曲構造と深く関係していることが知られている。本研究の目標は、この関係をさらに掘り下げ、幾何学的な側面から、結び目の体積予想及びその一般化の解決に貢献し、新しい視点を提供することである。
平成２８年度の研究では、広島大学の作間誠氏との共同研究により、交代結び目のキューブ分解を用いて、その補空間の四面体分割の既約性を証明した。最初の研究計画にはなかったテーマであるが、体積予想の理論的・一般的な証明には不可欠な命題であり、交代結び目の体積予想における幾何学的な問題点はすべてクリアされた。一方で、３次元多様体のキューブ分解を用いた証明は明快であり、体積予想の幾何的側面の研究に、新しい視点を提供できた。この研究の応用として、前年度の研究でも扱った、カスプ・シェイプの一般化として定式化されるノイマン・ザギエ級数の数論的な性質があげられる。交代結び目のノイマン・ザギエ級数は、そのホロノミー表現が定める不変トレース体に属する、という事実である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初計画になかった、交代結び目のキューブ分解に関する研究を行ったため、平成２７年度に予定していたライデマイスター・トーションに関する研究、平成２８年度に予定していたカスプ間距離に関する研究には、未だ着手できていない。しかし、交代結び目の体積予想における幾何学的な問題点がすべて解決できた意義は大きい。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２９年度は、前半にライデマイスター・トーションに関する研究、後半にカスプ間距離に関する研究を行う。ただし、８月の国際研究集会で、ジュネーブ大学のカシャエフ氏と情報交換を行う予定であり、交代結び目の体積予想における解析的な問題点をテーマとする可能性もある。
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| Causes of Carryover |
海外で予定されていた研究集会が、国内で開催されたため
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
８月にドイツで開催される国際ワークショップに付随する出張旅費として使用する
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