2017 Fiscal Year Annual Research Report
On the volume conjecture for knots and potential functions
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15K04878
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
横田 佳之 首都大学東京, 理学研究科, 教授 (40240197)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 交代結び目 / 体積予想 / ポテンシャル関数 / ヘッセ行列式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結び目の体積予想とは、結び目のジョーンズ多項式の極限に、結び目補空間のグロモフ体積が現れるという予想であり、３次元多様体の幾何構造と量子群・量子不変量を結びつける重要な研究テーマである。本研究で扱うポテンシャル関数とは、量子二重対数関数を用いたジョーンズ多項式の積分表示の主要項に現れる複素多変数関数であり、その臨界方程式、臨界値、ヘッセ行列式等が結び目補空間の幾何構造と深く関係していることが、これまでの研究で知られている。本研究の目標は、この関係をさらに掘り下げ、幾何学的な側面から、結び目の体積予想及びその一般化の解決に貢献するとともに、新しい視点を提供することである。
平成２９年度の研究では、平成２８年度に実施した、交代結び目の補空間の四面体分割の非退化性に関する研究の応用として、結び目補空間の幾何構造の変形空間に関するノイマン・ザギエ理論を用いることで、ポテンシャル関数のヘッセ行列式が常に非退化であることを証明することができた。これは、ジョーンズ多項式の積分表示に鞍点法を適用する際に必須の条件であり、結び目の最も重要なクラスである交代結び目について、この課題がクリアされた意味は大きい。この結果は、平成３０年度に東京で開催される国際研究集会で発表する予定である。
本研究により、交代結び目に対する体積予想の解決へのモチベーションが大きく高まった。今後は、解析的な側面からのアプローチにシフトし、この問題の解決を目指す。
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