軌道の存在確率密度の一意性に関する研究

2017 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04902
• Research Institution: Kumamoto University
• Principal Investigator: 鷲見 直哉 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (50301411)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 解析学 / 力学系 / エルゴード理論

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は，軌道同士の振舞いに関するある局所的な条件から，軌道の存在確率密度に関する次の大域的な性質(1)と(2)を導くことである：(1)すべての軌道の存在確率密度が決まるならば，この存在確率密度は一意的に決まる．(2)有限時間での軌道の存在確率密度と無限に時間が経過した軌道の存在確率密度との差は，エントロピーとポテンシャルという２つの値を用いて具体的に表示できる．特に，本研究では，互いに異なる軌道の組に対して，一方の軌道の近くから他方の軌道の近くに移動する別の軌道がある，という局所的な条件のみから上の性質(1)と(2)を導くことを目的とする．
更に，本研究の応用として，次の結果を導く：(3)稠密な軌道をもつ可微分力学系が，摂動を加えてもその性質を失わないならば，(1)と(2)を満たす．
(2)について平成２９年度は，基本集合を2つもつような公理A系力学系が，部分双曲型であり，かつ上記の局所的な条件を満たすならば，有限時間での軌道の存在確率密度と無限に時間が経過した軌道の存在確率密度との差は，エントロピーとポテンシャルという２つの値を用いて具体的に表示できることを示した．これまでは基本集合が1つの公理A力学系でしか，このような結果は示されていなかった．また，今回の結果を導くために，強横断性条件を満たす公理A系力学系が，上記の局所的条件を満たすならば，一方通行明記性を満たすことを示した．これらの結果は連携研究者である山本謙一郎氏との共同研究であり，現在論文として投稿準備中である．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

研究実績の概要で述べた通り，いくつかの条件を満たす公理Aに対して大域的な性質(2)を示したが，部分双曲型という条件をはずすことができなかったためである．

Strategy for Future Research Activity

今年度も引き続き，研究実績の概要で述べた局所的条件から，大域的条件(1)と(2)を導くこと，並びに，本研究の応用として，上記の結果(3)を導くことを目標とする．特に，(1)について，周期点の安定集合と不安定集合が位相的多様体となり，かつ位相横断的に交わるならば，存在確率密度は一意的に決まることを示すことを目標とする．
そのため，連携研究者・平山至大氏（筑波大），鄭容武氏（広島大），山本謙一郎氏（長岡技術科学大），並びに，軌道の存在確率密度の専門家である研究協力者・辻井正人氏（九大），高橋博樹氏（慶應大），力学系の安定性の専門家である研究協力者・酒井一博氏（宇都宮大）と，年に数回お互いに行き来し研究打ち合わせを行う．
また，本研究に必要な多様体上のエルゴード理論に関する書籍等の文献，並びに，文房具等の必要な消耗品を購入する．得られた結果は関連分野の研究集会で発表する．

Causes of Carryover

平成28年度に熊本地震の影響により生じた研究計画の遅れを取り戻しきれなかったためである。
次年度使用額については、連携研究者・研究協力者との研究打ち合わせ、並びに、得られた結果の研究発表に使用する。