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15K04905
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| Research Institution | Nippon Institute of Technology |
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Principal Investigator |
大野 修一 日本工業大学, 工学部, 准教授 (20265367)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
泉池 敬司 新潟大学, 自然科学系, フェロー (80120963)
細川 卓也 茨城大学, 工学部, 准教授 (90553579)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 合成作用素 / 乗法作用素 / 荷重合成作用素 / Toeplitz作用素 / Hardy空間 / Bergman空間 / Bloch空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 1982年BarriaとHalmosは, Hardy-Hilbert空間におけるToeplitz作用素に「近似的Toeplitz作用素」という拡張的な定義を付け加え,2007年以後Shapiro等が合成作用素の近似的Toeplitz作用素性を研究している。この問題は,全く性質の異なるToeplitz作用素と合成作用素が実は近似的には似通っている点を指摘する問題になっている。大野は乗法作用素と合成作用素の積である荷重合成作用素のToeplitz性及び一様位相,強,弱位相での近似的Toeplitz作用素性を特徴付けた。強,弱位相においては, 乗法作用素の部分に関係なく,合成作用素の部分によって性質が決定するという知見を得た。また,この問題から生じた「特性関数がシンボルであるToeplitz作用素と合成作用素の積のコンパクト性の特徴付け」の問題も昨年度から引き続き,研究分担者泉池敬司新潟大学フェローと考察したが,解決には至らなかった。この問題への解答が,未解決問題である「Hardy空間上のコンパクトな荷重合成作用素の特徴付け」への手がかりを導くと信じられる。
2. 単位円板の自己解析写像とそれが導く合成作用素の関係は函数解析学と関数論を結ぶ興味深い,重要な問題である。研究分担者細川卓也准教授（茨城大学）とBlochおよびlittle Bloch空間で, ２つの自己解析写像が導く合成作用素のそれぞれのコンパクト性とそれらの積のコンパクト性の関係を, ある意味「双曲型微分」となる幾何関数論的な特徴付けを行った。引き続き,韓国高麗大学のChoe, Koo両教授も加わり,Hardy空間の場合を考え,このときの合成作用素の挙動はあるweightの荷重Bergman空間上の荷重合成作用素の挙動と同値になる,という知見を得た。この手法は,この分野でかなり有効なものとなろう。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1.「荷重合成作用素のToeplitz性及び一様位相,強,弱位相での近似的Toeplitz作用素性」についての結果は,2016年度関数環研究集会（茨城大学・工学部)において口頭発表した。その論文は投稿したが,不採用になった。レフリーはこの分野の専門外と思われるが,誤解されるような表現があったため,その修正を試みている。しかし,この一年の進展も鑑みて,さらに研究の深化も試みている。また,この問題から生じた「特性関数がシンボルであるToeplitz作用素と合成作用素の積のコンパクト性の特徴付け」の問題も昨年度から引き続き, 研究分担者の泉池新潟大学フェローと考察したが,解決には至らなかった。
２．研究分担者の細川准教授との共同研究「Blochおよびlittle Bloch空間における２つの自己解析写像とその積が導く合成作用素のそれぞれのコンパクト性の関係」は,その結果を韓国・ソウルの高麗大学で開催された「International Workshop on Function Theory」で,招待講演として発表した。その際,引き続きHardy-Hilbert空間でも考えていることを申し添えたところ,同大学のB. Choe, H. Koo両教授が興味を示したため,11月に再び高麗大学を訪問し,討議を行った。かなりの難問であるため,より具体的に、コンパクト合成作用素を引き起こす写像と恒等写像との積で考えることとしたが、解決していない。また,「Blochおよびlittle Bloch空間の場合」の論文は投稿したが,不採用になったため,主に書き方の修正を試みている。
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| Strategy for Future Research Activity |
1. 研究分担者の細川准教授, 韓国高麗大学のChoe, Koo両教授と Hardy-Hilbert空間で, 単位円の自己解析写像とそれが導く合成作用素の関係を明らかにしたい。この課題について, 茨城大学，高麗大学,日本工業大間で出張を行い，討議を行う。さらに, Choe, Koo両教授による「3つの合成作用素による線形結合のコンパクト性」の結果に触発された「Hilbert-Schmidtness」についても考察を行いたい。
2. Hardy-Hilbert空間上における荷重合成作用素のコンパクト性を特徴付けることはこの分野の最大の難問であるが，その具体的な問題である「荷重関数が特性関数の場合」を,研究分担者の泉池フェローと考察したい。各々が日本工業大，新潟大学への出張を行い，共同研究を押し進める。
我々の研究課題は,作用素論をはじめとした諸分野の問題としても興味深いため，研究協力者の瀬戸道生准教授（防衛大学校）,植木誠一郎准教授(東海大),泉池耕平講師（山口大）と討議を行うこととなろう。そのために, 各研究分担者，研究協力者とメールと結果の添付ファイルにより連絡を取りあい，休暇中の各所属機関への出張で共同研究を押し進める。資料として, 解析関数空間及び作用素論関係図書及び学位論文等を購入する。また,研究の成果の発表，知識取得のために，学会（９月山形大学）, 研究集会（関数環研究集会等）に参加する。また,高麗大学への出張も考えている。関連分野の知識の交流および獲得のための研究集会「宮代セミナー」を日本工業大において開催する。問題の難解さ等で研究が当初の計画どおりに進まない可能性も考えられるが, 新たな問題展開が出てくる可能性も高い。むしろ, 本研究課題に関係した新たな問題を各分担者，研究協力者らが提起することが考えられる。そうしたときの共同研究体制も十分整っている。
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| Causes of Carryover |
「次年度使用額」は必要に応じた執行分の端数として生じたものである。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
当初の予定通り、研究分担者，研究協力者との共同研究執行を考えている。
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