2017 Fiscal Year Research-status Report
Banach環上のある種のスペクトル保存写像とその摂動の安定性
| Project/Area Number |
15K04921
|
|---|
| Research Institution | Niigata University |
|---|
Principal Investigator |
三浦 毅 新潟大学, 自然科学系, 教授 (90333989)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
羽鳥 理 新潟大学, 自然科学系, 教授 (70156363)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | 等距離写像 / 双対空間 / 端点 / 関数空間 / 関数環 / 可換Banach環 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
一般の抽象的関数空間上の全射実線形等距離写像の構造を解明するためには，これまでの複素線形等距離写像の研究のように端点を調べるだけでは不十分であることが分かった。実際，等距離写像から自然に誘導される共役写像は，双対空間の間の等距離写像となるが，この共役写像が端点をどのように写すかが問題となる。この振る舞いを知るためには，円周と同相な集合がどのように写り合うかを解明する必要があり，そのための道具が現在は不足していることが研究進展の妨げとなっている。そこで具体的な空間において，等距離写像から誘導される共役写像が円周をどのように写すかを調べ，一般の関数空間上の等距離写像解明につなげる必要がある。そのための具体例として閉区間[0,1]上で定義された連続微分可能な複素数値関数のなすBanach空間C^1([0,1])上の等距離写像を，様々なノルムに関して考察した。結果的に，C^1([0,1])上の全射等距離写像は，複素線形等距離写像かその複素共役として表現されるものに限られることが示されたが，全射等距離写像が複素線形等距離写像と大きく変わらないことよりも，双対空間内の円周の写り方が調べられることが重要である。さらに複素線形等距離写像では現れることのなかった「非標準的」等距離写像の存在は，そのような例があるだけでなく，比較的多くの空間において自然に現れることを示した。したがって今後の研究は「非標準的」等距離写像の分類が重要である。その分類を行うためには，具体的な空間においてこれまで調べられていない全射等距離写像の構造を洗い直さなければならない。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
具体的な関数空間上の全射等距離写像の構造を調べるために，これまでにない手法を開発する必要があり，そのために多くの時間を割いてきた。その結果，多くの空間に適用可能な手法が確立された，これまでに全射複素線形等距離写像の構造が解明されてきた空間において，全射等距離写像を調べることは単なる模倣ではなく，ありふれたものの中から宝を探す作業のようなものである。今後は既知の空間上の全射等距離写像を調べるとともに，そこから自然に発生する新しい空間上の等距離写像を考察することにより，一般の関数空間上の等距離写像の構造解明に力を注ぐ。特に既知の結果を見直すことにより開発された手法は，これまでにない道具を提供することになり等距離写像の新しい側面を浮き彫りにすることが期待される。
一方で研究分担者は，Banach環に値をとるLipschitz関数空間を考え，その上の等距離写像の構造を解明した．C^1空間では種々のノルムを考察しているのに対し，Lipschitz空間では自然なノルムに限定して等距離写像を考察している．このノルムに関して，C^1空間はLipschitz空間の閉部分空間となるため，これらの研究は互いに密接に関連する．Lipschitz関数の具体例であるC^1関数は等距離写像の構造解明を容易にし，そこで得られた知見はLipschitz空間に活かされる．逆にLipschitz空間で得られた一般的手法はC^1空間にも適用され，C^1空間上の等距離写像をより詳しく調べることを可能にする．
|
| Strategy for Future Research Activity |
これまでは具体例として扱い易いC^1関数空間を主に調べてきた。そこで得られたアイディアと手法を適切に組み合わせることにより，これまでには知られることのなかった新しい枠組みを手に入れることが出来た。近年の研究成果は，等距離写像を解明するために必要な道具の開発とも言える。今後は実解析的関数ばかりではなく，そこから自然に発生する複素解析的空間とその上の全射等距離写像を様々なノルムに対して考察することにより，単に等距離写像の構造を解明するだけでなく，ノルムの特徴により等距離写像がどのように影響されるのかを調べることが可能になる。また，この手法を用いることにより，スカラー値関数だけでなくベクトル値関数空間に対しても等距離写像を調べることが可能となる。等距離写像の研究は，一般のBanach空間値関数空間では大きく様子が異なることがあり，重要な研究と位置づけられている。ある種の無限次元Banach空間に値をとる関数空間上の等距離写像も解明しなければならない．
複素解析的関数空間として具体的な正則関数のなす空間を考察し，その上の等距離写像を解明することは古くからなされているが，それらの研究成果を研究課題の視点から見直すことにより既存の結果と対比することも重要である．さらに，関数環は解析関数を統一的に扱う目的で導入されたように，正則関数のなす関数空間で起きる現象は関数環にも反映されることが期待される．そこで正則関数のなす関数空間上の等距離写像を関数環上の等距離写像に焼き直し，その構造を調べる問題が自然に発生する．これらの研究を個別に行うだけでなく，統一的に扱うことの出来る枠組みを探し当てることも重要である．
|
