2005 Fiscal Year Annual Research Report
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16340043
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山田 義雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20111825)
田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
石井 仁司 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70102887)
西原 健二 早稲田大学, 政治経済学術院, 教授 (60141876)
林 仲夫 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30173016)
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| Keywords | 関数方程式 / 関数解析 / 非線形現象 / 変分法 |
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| Research Abstract |
研究目的にかかげた目標に関する次の幾つかの興味ある成果が得られた。
(i)本研究によって開発された、強非線形放物型方程式の解の高い微分可能性を保証する「L∞エネルギー法」が、走化性粘菌の行動を記述する非線形放物型方程式系やヒステレシス項を有するfood-prey-predator model方程式系にも有効であることがわかり、従来の研究より大幅に弱い条件のもとで、解の存在、一意性が得られることが示された。他の非線形放物型方程式系への応用が期待される。
(ii)球の外部領域における、優臨界指数増大度の爆発項を有する半線形熱方程式に対して、安定集合(ここから出発した解は大域解)と爆発集合(ここから出発した解は有限時刻で爆発)が構成された。さらに、すべての球対称時間大域解は有界となり、そのL∞ノルムは、初期値のL∞ノルムにのみ依存する定数でおさえられることが示された。この事実は、劣臨界指数増大度の非線形項に対しては良く知られていたが、優臨界指数に対しては、全く知られていなかった。
(iii)p-Laplacianを主要項に持つ準線形放物型方程式に対する初期値境界値問題に対して全ての解軌道を引き付ける「大域アトラクター」が、L2で構成された。
さらに、大域アトラクターが無限次元となるための十分条件が与えられた。無限次元の大域アトラクターを持つ例は、半線形放物型方程式では全く知られておらず、このような新奇な現象が発見されたことは、極めて重要であり、準線形放物型方程式に特有のものと思われる。
また、ある種の特殊な方程式に対して、あるクラスに属する初期値から出発する解軌道を、時間に関して指数的に引き寄せる、有限フラクタル次元を持つ「指数アトラクター」の存在を示唆する予備的な成果が得られた。
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