2004 Fiscal Year Annual Research Report
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16540208
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Shikoku University |
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Principal Investigator |
竹内 博 四国大学, 経営情報学部, 教授 (20197271)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
酒井 隆 岡山大学, 理学部, 教授 (70005809)
勝田 篤 岡山大学, 理学部, 助教授 (60183779)
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| Keywords | p-ラプラシアン / グラフ / スペクトル / p-harmonic morphism |
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| Research Abstract |
グラフG=(V,E)上のp-ラプラシアン(1<p<∞)のスペクトルの下限λ_<0,p>についての、下からの評価として(h(G)/2p)^p【less than or equal】λ_<0,p>【less than or equal】h(G)を得た。ここでh(G)はグラフの等周定数で次で定義される。
h(G)=inf{#(∂N)/Σ__<x∈N>m(x);N⊂Vは有限グラフ}。ここでm(x)は点xと接続する辺の数、∂NはNの境界を表す。このタイプの評価はリーマン多様体のとき既にCheegerにより得られていた。また別のタイプの評価としてKをGの有限部分グラフとしλ_<0,p>^<ess>=lim_Kλ_<0,p>(G-K)、μ=limsup_<r→∞>(logV(r))/r、V(r)=Σ_<x∈B(r)>m(x)とおいて次の評価を得た。λ_<0,p>^<ess>【less than or equal】{exp(μ/p)-1}^p/{1+exp(μ)}。
グラフの間のp-harmonic morphismを定義し、その性質を調べた。このときp=2の場合とp≠2の場合で違いが現れずほぼ同じ性質を持つ写像となることがわかった。
グラフ上のラプラシアンのグリーン関数に相当する方程式のp-ラプラシアン版を考えG(y, x)と書く。例えば系として正則グラフとして次数dの木を考えたとき次の評価を得た。
G(y, x)=((d-1)^<1/(p-1)>)/((d-1)^<1/(p-1)>-1)(1/(d-1))^<ρ_x(y)/(p-1)>
ここでρ_x(y)=d(x, y)はグラフの辺の長さを1として点xとyの距離を示す。
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