2007 Fiscal Year Annual Research Report
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16540208
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| Research Institution | Shikoku University |
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Principal Investigator |
竹内 博 Shikoku University, 経営情報学部, 教授 (20197271)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
酒井 隆 岡山理科大学, 理学部, 教授 (70005809)
勝田 篤 岡山大学, 自然科学研究科, 准教授 (60183779)
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| Keywords | 幾何学 / リーマン多様体 / p-調和関数 / P-調和写像 |
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| Research Abstract |
リーマン多様体上のp-ラプラシアンΔp(2〓p<∞)は多様体上の関数uに対して定義される作用素であり,研究課題のp-調和関数はΔpu=0として定義される。調和関数はp=2の場合に相当し,p-調和関数はその拡張概念と考えられる。
p-調和関数は多様体上のp乗エネルギーを汎関数と考えたときの変分問題の臨界点を表す方程式として自然に現れる。このときオイラーラグランジュの微分方程式が上記のp-調和関数を表す方程式となり非線形の楕円型偏微分方程式となる。
この方程式と関連してこの放物方程式版(非線形熱方程式)をp-調和関数流と呼べば,時間が無限大で定常状態となったときはちょうどp-調和関数の方程式となる。19年度はこの観点から前年度に続き,調和関数流,および調和写像流,その拡張であるp-調和写像流についてその存在および性質について調査を行った。
調和写像の場合,ターゲットの多様体の曲率が非正のときはその存在などは1964年にEells-Sampsonにより示されたが,曲率が正のときは解の存在は示されず,その後いくつかの結果があるが,放物方程式版のときは有限時間で解は爆発する場合がある。この状況はp-調和写像においてもほぼ同じであると予想されるが,まだすべての場合では証明されていない。そのサーベイを四国大学研究紀要に研究ノートとして発表した。
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