2016 Fiscal Year Annual Research Report
Degeneration and collapsing of Kleinian groups; geometry and analysis of the compactification of their defamation spaces
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16H03933
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
志賀 啓成 東京工業大学, 理学院, 教授 (10154189)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
相川 弘明 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20137889)
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
宮地 秀樹 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (40385480)
大鹿 健一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (70183225)
山田 澄生 学習院大学, 理学部, 教授 (90396416)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 低次元トポロジー / 結び目理論 / 3次元多様体論 / 4次元多様体論 / クライン群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
志賀は, 開Riemann面のRunge性とstrong disk性について広島大の阿部，愛知工大の中村両氏と共同研究を行い，その同値性について新たな知見を得た．また，二つの位相無限型の開Riemann面の擬等角同値性の判定条件を考察し，Schottky群の極限集合のある種の普遍性を示した．
相川は, 非有界集合の容量密度について考察し，半径一定の球に対する容量密度の中心を動かしたときの下限（下容量密度）について，半径を大きくしたときの下容量密度の極限値の0-1法則（dichotomy）を様々な状況で示した．さらに，この問題がラプラシアンの最小固有値と関係があり，ユークリッド空間に限らず，距離測度空間へ発展していくことを明らかにした．
須川は, アフィン構造を有するリーマン面の変形空間について考察を行い，それらの複素構造や多角形を用いた構成による実現に関して研究を行った．さらに領域の凸性を双曲計量の言葉で記述する試みをいくつかの幾何において行った．
宮地は, タイヒミュラー空間の複素解析的構造について研究した．特に，タイヒミュラー空間上の正則関数（多重調和関数）と種々のタイヒミュラー空間のコンパクト化に関する境界上の関数の関係を調べるために，Krushcalの公式を基にして，タイヒミュラー距離を通して，タイヒミュラー空間上のグリーン関数について研究している．本年度では，タイヒミュラー距離に関するレビ形式を特別な場合に計算した．
大鹿は, Klein群が変形空間で発散する時に生じる，R-treeへの基本群の等長作用が３次元多様体で幾何的に実現できるかという問題を研究した．一般には実現できないことを示し，さらにどのような場合に実現できないかを特定した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
28年度は研究代表者,分担者のこれまでの研究,特にタイヒミュラー空間のコンパクト化に関する研究を進める, という方針であった．研究代表者,分担者の研究実績および成果発表は，内容と量ともに十分なものがあった．したがって，研究の進捗状況は順調である．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究代表者,分担者のこれまでの研究,特にタイヒミュラー空間のコンパクト化に関する研究を精査し,一般のクライン群の変形空間のコンパクト化への研究の道筋をつける．
Riemann 面のタイヒミュラー空間の境界理論は，Thurston, Bers, Gardiner-Masur によるものがよく知られている．(複素)射影幾何を用いた Bers 境界は志賀,須川,宮地が,双曲幾何を用いた Thurston 境界は大鹿,極値的長さの幾何を用いた Gardiner-Masur 境界は 宮地が研究を進める．山田は Weil-Petersson 幾何による完備化の研究で秀でた結果をさらに進展させる．相川はポテンシャル論的コンパクト化一般の専門家として洞察を深める．さらに年度末には研究集会を開催し，研究の進展状況を確認するとともに国内外の研究者と情報交換・討論を行う．
また，新しいアイディアと研究の素地を固め，発展させる．具体的には，昨年度に続き，目標として 「本研究の主たる対象のクライン群の変形空間のひな形であるタイヒミュラー空間のコンパクト化およびその一般化についての知見を広げることに努める」を掲げる．昨年度に行った若手研究者との討論と情報交換を生かして，新たなアイディアの発掘と進展を目指す．
7月に台北で開催されるThe 12th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applicationsにおいて，分担者の相川とSpecial sessionをオーガナイズし，本研究課題とその関連分野の研究成果発表と研究交流を行う．さらに国際研究集会・ワークショップに積極的に参加する．
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