2018 Fiscal Year Annual Research Report
Degeneration and collapsing of Kleinian groups; geometry and analysis of the compactification of their defamation spaces
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16H03933
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
志賀 啓成 東京工業大学, 理学院, 教授 (10154189)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
相川 弘明 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20137889)
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
宮地 秀樹 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40385480)
大鹿 健一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (70183225)
山田 澄生 学習院大学, 理学部, 教授 (90396416)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 低次元トポロジー / 結び目理論 / 3次元多様体論 / 4次元多様体論 / クライン群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
志賀は、McMullenが示した擬Fuchs群の変形空間のdisk convexityについて考察し、この性質が開リーマン面の場合には位相的な性質で特徴付けられることを示した。また、ランダムカントール集合のタイヒミュラー距離の評価を与え、それらが発散する場合の条件を考察した。
相川は、複雑領域のDirichlet最小固有値とその複雑領域をベースに持つシリンダー上の熱方程式の正値優解の大域可積分性との関連を調べた。物型箱議論を拡張してCranston-McConnell型の不等式を導いた。
須川は、単位円板からそれ自身の中への等角写像の1パラメータ族の研究をM. Elin氏，D. Shoikhet氏と行い、特にレゾルベント族の擬等角拡張性についてそれまで知られていなかった新しい性質を発見した。
宮地は、タイヒミュラー空間を複素ユークリッド空間とのベアス埋め込みを通して有界領域とみなした時、多重調和関数に関するDemaillyの意味のポアソン積分表示を得た。また、この表示におけるポアソン核および多重調和測度について、極値的長さと測度付き測地線層の空間上の測度をサーストン測度との関係を明らかにした。
大鹿は、Papadopoulosと共同で，laminationの空間への写像類群の作用の剛性の研究を行った。measured lamination spaceにintersection formを入れたものや、geodesic laminationの空間に非対称なHausdorff収束により位相を入れたものの自己同相群が（拡張された）写像類群に一致することを示した。
山田は、対称空間への調和写像を用いて、真空アインシュタイン方程式の解を構成し、５次元アインシュタイン定常時空を定式化した。またリーマン面のモジュライ空間の構造と調和写像との関係性の理解を深めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究の推進方策は研究代表者、分担者のこれまでの研究、特にタイヒミュラー空間のコンパクト化に関する研究を進める、という方針であった。研究代表者・分担者の研究実績および成果発表は、内容と量ともに十分なものがあった。したがって、研究の進捗状況は順調である。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究代表者、分担者のこれまでの研究、特にタイヒミュラー空間のコンパクト化に関する研究を精査し、一般のクライン群の変形空間のコンパクト化への研究の道筋をつける。
Riemann面のタイヒミュラー空間の境界理論は、Thurston, Bers, Gardiner-Masur によるものがよく知られている。(複素)射影幾何を用いたBers境界は志賀・須川・宮地が、双曲幾何を用いたThurston境界は大鹿、極値的長さの幾何を用いたGardiner-Masur境界は宮地が研究を進める。山田は Weil-Petersson幾何による完備化の研究で秀でた結果をさらに進展させる。相川はポテンシャル論的コンパクト化一般の専門家として洞察を深める。さらに年度末には研究集会を開催し、研究の進展状況を確認するとともに国内外の研究者と情報交換・討論を行う。
また、新しいアイディアと研究の素地を固め、発展させる。具体的には、昨年度に続き、目標として「本研究の主たる対象のクライン群の変形空間のひな形であるタイヒミュラー空間のコンパクト化およびその一般化についての知見を広げることに努める」を掲げる。昨年度に行った若手研究者との討論と情報交換を生かして、新たなアイディアの発掘と進展を目指す。
7月にサンクトペテルブルクのEuler Instituteで開催される研究集会 Riemann surfaces and Teichmuller Theoryにおいて，分担者の宮地・大鹿・山田が招待講演を行い、志賀も参加して本研究課題とその関連分野の研究成果について議論し、研究交流を行う。さらに国際研究集会・ワークショップに積極的に参加する。
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