2019 Fiscal Year Annual Research Report
Degeneration and collapsing of Kleinian groups; geometry and analysis of the compactification of their defamation spaces
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16H03933
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
志賀 啓成 京都産業大学, 理学部, 教授 (10154189)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
相川 弘明 中部大学, 工学部, 教授 (20137889)
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
宮地 秀樹 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40385480)
大鹿 健一 学習院大学, 理学部, 教授 (70183225)
山田 澄生 学習院大学, 理学部, 教授 (90396416)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | タイヒミュラー空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
志賀は一般化されたカントール集合の擬等角同値性をそのカントール集合を定義する数列によって評価し，それを用いてある条件のもとでカントール集合のハウスドルフ次元が等しくなることを示した．宮地は，擬等角写像の無限小空間を擬等角写像の空間における力学系による極限集合と理解してその基本的性質を得た．さらに，Saricと共同研究によりタイヒミュラー円板の境界挙動を調べた．須川は単位円板に正則に作用する連続半群の力学系についてElinとShoikhetと共同研究を行い，非線形レゾルベンの持つ興味深い幾何的な性質を調べた．また，平面領域の境界の一様完全性を双曲計量とユークリッド計量との対比により特徴づける研究を行った．相川はIntrinsic ultracontractivity の研究を応用して，Lipschitz領域やJohn領域をベースにするシリンダー上の熱方程式の優解の可積分性を与えた．大鹿はPapadopoulos, Yi Huangと共同で，Teichmuller空間のThurston非対称距離の無限小剛性を示した．山田はリーマン面のモジュライとしての複素構造、双曲計量、共形構造の変形理論について、研究を進めた。特にタイヒミュラー空間上に定義されるタイヒミュラー距離とベイユ・ピーターソン距離の関係性についての考察を行った．さらにH・ブーズマン によって定義された距離関数のカテゴリーである時間的幾何学(Timelike Geometry)について、研究を進めた．フィンスラー距離空間の新たな具体例として、興味深いモデルを論文Timelike Hilbert and Funk geometriesとして発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究の推進方策は研究代表者，分担者のこれまでの研究，特にタイヒミュラー空間のコンパクト化に関する研究を進める，という方針であった．今年度の研究代表者・分担者の研究実績および成果発表は，内容と量ともに十分なものがあった．したがって，研究の進捗状況は順調である．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究代表者、分担者のこれまでの研究、特にタイヒミュラー空間のコンパクト化に関する研究を精査し、一般のクライン群の変形空間のコンパクト化への研究の道筋をつける。
Riemann面のタイヒミュラー空間の境界理論は、Thurston, Bers, Gardiner-Masur によるものがよく知られている。(複素)射影幾何を用いたBers境界は志賀・須 川・宮地が、双曲幾何を用いたThurston境界は大鹿、極値的長さの幾何を用いたGardiner-Masur境界は宮地が研究を進める。山田は Weil-Petersson幾何による完備化の研究で秀でた結果をさらに進展させる。相川はポテンシャル論的コンパクト化一般の専門家として洞察を深める。さらに年度末には研究集会を開催し、本研究の総合的な成果報告をするとともに国内外の研究者と情報交換・討論を行う。 また、新しいアイディアと研究の素地を固め、発展させ，今後の研究発展につなげたい。具体的には、昨年度に続き、目標として「本研究の主たる対象のクライン群の変形空間のひな形であるタイヒミュラー空間のコンパクト化およびその一般化についての知見を広げることに努める」を掲げる。そのためにも国内外の研究者との研究交流をさらに進めることが必要で，研究者の招聘と国内外の関連する研究集会へ参加を積極的に行う．
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