2018 Fiscal Year Annual Research Report
有限要素法に基づく精度保証付き数値計算の高度化に関する研究
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16H03950
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
小林 健太 一橋大学, 大学院経営管理研究科, 教授 (60432902)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
土屋 卓也 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00163832)
渡部 善隆 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
劉 雪峰 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (50571220)
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 助教 (60707743)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 有限要素法 / 誤差評価 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2018年度においては、とくに有限要素法の誤差解析についての研究で進展があった。具体的には、四面体上のLagrange補間について、四面体の形状に制限のない精密な誤差評価を得ることができた。この結果は、3次元有限要素法の誤差評価において重要な役割を果たす。三角形要素上のいくつかの種類の非適合補間についても誤差評価が得られた。これは、非適合有限要素法の誤差評価への応用が期待できる。有限要素法の誤差評価は境界条件としてディリクレ条件を仮定する場合が多いのであるが、応用上はノイマン条件を課す場合も重要である。そこで、ノイマン条件を境界条件とする有限要素法の研究を行い、誤差評価を得ることに成功した。また、一般的な関数空間における無限次元線形作用素の可逆性の検証と逆作用素の精度保証付きノルム評価について、方法の拡張・改良に取り組み、応用問題から導かれる具体的な無限次元関数空間の作用素に対する精度保証付き数値計算を通して検証理論の有効性を確認するとともに、共役空間への作用素に対する拡張にも成功した。この結果は、有限要素法を用いる非線形問題の精度保証を効率化する上で非常に重要である。
有限要素法以外の方法を用いる精度保証についても結果を得た。具体的には、解が時間発展する偏微分方程式である放物型方程式に対するスペクトル法を利用した精度保証付き数値計算方法を考案した。有限要素法と比べ適用できる問題に制限がかかるが、この方法が適用可能な問題に対しては、高精度な数値計算が可能なスペクトル法と半群理論を利用した計算方法により、非線形熱方程式の複素時間領域における解の挙動を精度保証付き数値計算で把握することが可能になった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初設定した研究目的によっては、当初の予想より進展しているものや停滞しているものがあるが、総合的に見ると、研究はおおむね順調に進展していると考えられる。
非適合有限要素法に関する誤差評価については、本年度においては予定した成果は出ていない。しかし、これは本年度において、より広い枠組みから考えることで統一的な理論構築ができるのではないか、ということがわかってきたため、研究をより広い視点から進めているためであり、特に研究が遅れているというわけではない。
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| Strategy for Future Research Activity |
2018年度の研究において、非適合有限要素法に誤差評価を、より統一的な枠組みで構築できるのではないか、ということが理解されてきた。具体的には、最も簡単な非適合有限要素法である2次元のCrouzeix-Raviart有限要素法を、DG法（Discontinuous Galerkin method）の特別な場合と考えることで、誤差評価を統一的に構成することができるのではないか、ということが分かってきた。今後は、そのような誤差評価の統一的構成について研究を進める。
また、四面体上のLagrange補間などを用いた3次元非線形問題への精度保証付き数値計算についても引き続き研究を行っていく。
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