Studies on (noncommutative) algebraic varieties via categorical points of view

2019 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 16H05994
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: Okawa Shinnosuke 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (60646909)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 導来圏 / 三角圏 / 極小モデル理論 / モジュライ / 非可換射影幾何学

Outline of Final Research Achievements

I worked on several problems of noncommutative algebraic geometry (= a field where people study abelian or enhanced triangulated categories as geometric objects generalizing the category of coherent sheaves). We, Among others, I. proved that the moduli space classifying semiorthogonal decompositions of the derived category of coherent sheaves is an etale algebraic space; II. defined and confirmed the basics of the minimal model theory for b-boundary divisors; III. proved that the moduli stack of stable pointed curves are (almost) always rigid in the noncommutative sense; IV. gave general definition of noncommutative del Pezzo surfaces; V. proposed a few hypotheses concerning the relationship between derived equivalence of algebraic varieties and the additive invariants. We also found a few interesting examples.

Free Research Field

代数幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

円や放物線のように「方程式=0」という形で表現される図形を代数多様体と呼び、数学内外の様々な分野と関係がある。代数多様体上には連接層というある種の線型な対象が(無数に)あるが、その全体の有り様(専門用語で圏)を研究することで代数多様体の本質に迫るのが非可換代数幾何学である。比較的若い分野であるためまだまだ基本的で重要なことがわかっていないが、例えば上記の成果Iはその一つを明らかにしたものである。また、Vは連接層の圏が代数多様体の本質をどこまで捉えているかという、非可換代数幾何学そのものの意義に関わる研究である。IVは非可換射影幾何学で研究されるべき対象を一気に増やしたという意義がある。