2017 Fiscal Year Annual Research Report
New development of mathematical theory of turbulence by collaboration of the nonlinear analysis and computational fluid dynamics
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16H06339
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小薗 英雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (00195728)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
金田 行雄 愛知工業大学, 工学部, 教授 (10107691)
三浦 英之 東京工業大学, 情報理工学院, 准教授 (20431497)
芳松 克則 名古屋大学, 未来材料・システム研究所, 准教授 (70377802)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 准教授 (70507954)
隠居 良行 九州大学, 数理学研究院, 教授 (80243913)
久保 英夫 北海道大学, 理学研究院, 教授 (50283346)
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| Project Period (FY) |
2016-05-31 – 2021-03-31
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| Keywords | Navier-Stokes 方程式 / Liouville 型定理 / 球対称解 / 準特性条件 / 最大正則性 / Hadamard 変分公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
まず第１に，3 次元空間においてDirichlet 積分有限の範囲で，定常Navier-Stokes 方程式の解のアプリオリ評価を，同積分と同じスケールを有する渦度ベクトルの無限遠方の挙動によって確立した．その応用として，渦度が無限遠方で距離の5/3 乗よりも早い減衰を示すならば，自明解に限るというLiouvelle 型定理を証明した．
第２に，高次元空間の外部領域における圧縮性粘性流体の運動を記述する双曲型モデルの方程式に対して，その球対称解の時間大域的古典解の存在と漸近挙動を示した．手法ととしては，重み付きL2-エネルギー法を用いることにより，伝播速度が線形波動のそれに比べて小さいという制限（Sub-characteristic condition）を除去することに成功した．
第３に，内部および外部領域の双方における非定常Navier-Stokes 方程式の境界条件が時間に依存して減衰する場合，強解の時間大域的乱流解の存在と，その漸近挙動を時間変数の指数の観点から求めた．内部領域については指数減衰，外部領域においては代数的オーダーによる減衰であるが，特に境界条件が斉次である場合は，従来の結果を含むものである．手法としては，線形Stokes方程式のLp-最大正則性定理が重要な役割を演じる．
第４に，3 次元空間内における滑らかな閉曲面で囲まれた境域をその体積が一定に保たれる様な摂動を施した場合のStokes 方程式の固有値のHadamard 変分公式を導出した．その応用として，体積を保存する様な領域のすべての摂動に対して固有値のHadameard 変分がゼロであるならば，もともとの領域は2 次元トーラスに他ならないことを証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
流体力学の基礎方程式は加速度が速度場に関する時間微分ということから，流れ場に沿う微分というラグランジェの考え方によれば，本質的に非線形偏微分方程式である．数ある非線形偏微分方程式の中で，ナビエ・ストークス方程式の数理解析は，現代解学の中心的なテーマと言える．本研究の数学解析研究班では，偏微分方程式論の基本的な課題である解の存在，一意性，データに対する連続依存性といった適切性から出発し，時間漸近挙動に代表される安定性について世界をリードする成果を挙げていると言えよう．
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| Strategy for Future Research Activity |
乱流の発生で重要な渦構造について，その典型あるバーガース渦層の挙動を考察する．全循環量や渦レイノルズ数を与えて，バーガース渦の周りで渦度方程式を解くことは，流体力学の数理解析，特に非線形偏微分方程式に対する差し迫った要請であるといえよう．バーガース渦の摂動として渦度方程式を解析する際の困難は方程式の係数が無限遠方で増大することが挙げられる．更に，非斉次渦レイノルズ数が与えられた場合，渦度方程式の構造はより複雑となる．そこで，指数関数の重み付きヒルベルト空間を導入し，修正項をもつストークス方程式のスペクトル解析と，バーガース渦によって生じる低階の歪対称作用素の核空間を決定することにより，渦度方程式の線形化作用素が逆作用素を有し，かつその作用素ノルムが与えられた渦レイノルズ数に関して一様有界であるかどうかを検証する．その応用として，渦レイノルズ数無限大の極限において摂動項を持った渦度方程式の解がバーガース渦に漸近することが明らかにされよう．結果として，高渦レイノルズ数におけるバーガース渦の安定性を予見している流体力学における数値計算に，数学的に揺るぎのない確固たる根拠を与えることを目標とする．
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