Study on the internal structures of the moduli of Galois representations

2019 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 16K05064
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: Taguchi Yuichiro 東京工業大学, 理学院, 教授 (90231399)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: ガロア表現 / モジュライ / 有限性 / ヘッケ体 / クムマー忠実体 / 遠アーベル幾何学 / 宇宙際タイヒミュラー理論

Outline of Final Research Achievements

We studied the arithmetic of highly Kummer-faithful fields. This notion is a variant of the notion Kummer-faithfu fields, and is important in anabelian geometry. We have written a paper about our results and submitted it to a journal. Its contents are mainly about a ramification theoretic characterization of highly Kummer-faithful fields. For example, if k is an algebraic number field of finite degree, then we have proved that a Galois extension of k whose ramification is everywhere finite is highly Kummer-faithful. As an application, we obtain that the following field is highly Kummer-faithful: the field obtained by adjoing to k all the coordinates of all p^n-torsion points, where the prime p moves and the exponent n is fixed, of a fixed semiabelian variety A over k.

Free Research Field

数論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

今年4月に大ニュースになったように、長らく数論の未解決問題であったabc予想が、望月新一氏により、彼の宇宙際タイヒミュラー理論の応用として証明された。宇宙際タイヒミュラー理論はその重要な構成要素として遠アーベル幾何学を含む。通常の遠アーベル幾何学は有限生成な体、例えば有限次代数体上で考察されることが多いが、暫く前から　sub-p-adic な体上に拡張され、さらに最近ではクムマー忠実体上に拡張されつつある。ところが、どんな無限次代数体がクムマー忠実体であるかの判定は必ずしも容易ではない。この状況に鑑みるに、無限次代数体がクムマー忠実体となるための判定条件を与えた我々の結果の意義は大きい。