2017 Fiscal Year Research-status Report
準ガロワ点理論の展開 －超曲面のデリケートな性質を扱うために－
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16K05094
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
高橋 剛 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (60390431)
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2016-10-21 – 2019-03-31
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| Keywords | ガロア点 / ガロア・ワイエルシュトラス点 / 弱ガロア・ワイエルシュトラス点 / 準ガロア点 / 代数曲線 / ガロア被覆 / ワイエルシュトラス点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数関数体の内部構造を調べるために、吉原久夫氏（新潟大学名誉教授）が導入した「射影超曲面」のガロア点」は、吉原氏・三浦敬氏（宇部高専）・深澤知氏（山形大）・私を中心に研究が進められてきた。より広いクラスの代数関数体に対してガロア点を一般化したものとして、「準ガロア点」と「弱ガロア・ワイエルシュトラス点」がある。準ガロア点や弱ガロア・ワイエルシュトラス点について研究を進め、その理論を展開していくことが本研究の目的である。
射影平面内の非特異代数曲線（つまり平面代数曲線）のガロア点で、曲線上にあるものを内ガロア点、曲線外にあるものを外ガロア点という。２０１６年度は、平面代数曲線とは限らない非特異代数曲線に対して、内ガロア点の一般化にあたる、「ガロア・ワイエルシュトラス点」について研究を行なった。
２０１７年度は、平面代数曲線とは限らない非特異代数曲線に対して、外ガロア点の一般化にあたる「弱ガロア・ワイエルシュトラス点」について研究を行なった。米田二良氏（神奈川工科大）との共同研究により、以下の定理を得ることができた。この結果は、平面代数曲線の外ガロア点の個数に関する吉原氏による定理と類似したものになっている。研究結果は論文にまとめ、学術雑誌に投稿した。
[定理] Cを標数零の代数閉体上の非特異射影的代数曲線で、その種数は２以上とする。ａ、ｂを互いに素な自然数であり、ａ＋１＜ｂとする。このとき、C上の弱ガロア・ワイエルシュトラス点でそのワイエルシュトラス半群がａとｂで生成されるような点は高々１個である。
また、三浦氏・深澤氏との準ガロア点に関する共同研究について、研究結果をまとめた共著論文の改良を行った。その論文は学術雑誌にアクセプトされた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
２０１７年度の計画では、弱ガロア・ワイエルシュトラス点でそのワイエルシュトラス半群が２元生成となるものについて、その個数と分布を決定する予定であった。米田氏との共同研究により、弱ガロア・ワイエルシュトラス点でそのワイエルシュトラス半群が２元生成となるものの個数が高々１個ということが証明できて、予定通りの進展となった。
また、準ガロア点について、三浦氏・深澤氏との共同研究で得られていた以前の結果を改良し、より詳細に個数と分布について調べることも、２０１７年度の計画としていた。これについては、新しい結果を得ることはできなかった。しかし、以前まとめた共著論文の改良を行い、その共著論文について学術雑誌からアクセプト通知を受けることができた。
従って、本研究課題について、概ね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
２０１８年度は以下のように研究を進めていく予定である。
１．米田氏との共同研究である、弱ガロア・ワイエルシュトラス点の個数とその分布に関する研究を行う。弱ガロア・ワイエルシュトラス点のワイエルシュトラス半群が２元生成の場合は、２０１８年度に解明したので、２元生成とは限らない場合に対して、研究を行う。
２．三浦氏・深澤氏との共同研究をおこなっていた準ガロア点について、得られていた結果を改良し、個数の上限などについて詳細に研究を行う。
３. ３次元射影空間内の射影代数曲線に対するガロア直線について、その本数や分布の様子調べる。特に、この問題に対して、弱ガロア・ワイエルシュトラス点や準ガロア点について得られている結果の応用を試みる。
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| Causes of Carryover |
差引額（a-b）の８７，１２８円は、２０１８年３月７日－３月１１日の出張旅費として使用済みである。出張者への支払日が４月１３日となったため、事務処理の都合上この差引額（a-b）８７，１２８円は平成３０年度の使用額へ記載されることになった。
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