2019 Fiscal Year Research-status Report
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16K05133
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
内藤 博夫 山口大学, その他部局等, 名誉教授 (10127772)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
井ノ口 順一 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40309886)
間下 克哉 法政大学, 理工学部, 教授 (50157187)
中内 伸光 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50180237)
近藤 慶 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (70736123)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 微分幾何 / 部分多様体 / リーマン対称空間 / グラスマン幾何 / 曲面論 / リー理論 / 準線形偏微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は，リーマン対称空間において，等質部分多様体をモデルとする軌道型グラスマン幾何の枠組から部分多様体論の構築を目指したもので，特にグラスマン幾何的曲面論を研究目的とし，具体的には，（１）実質的なグラスマン幾何的曲面を許容する曲面論の枠組みを抽出すること，及び（２）そのような実質的なグラスマン幾何的曲面論の幾何学，特にその枠組みに属する多くの曲面を構成する方法を見つけることを課題としている。
（１）については，平成３０年度では、問題の解決がある種の準線形１階偏微分方程式系の局所解の存在問題として捉えることができ、その解決が考察しているリーマン対称空間のイソトロピー表現に起因していることを得た。この結果を踏まえて、平成３１年度では、特にリーマン対称空間がコンパクトリー群の場合に限定して、より詳細なイソトロピー表現との関係解明に取り組んだ。この場合、イソトロピー表現がリー群の随伴表現になり、より簡明な結果となることが期待されたが、指数写像の振舞が障害となり完全解明には至らなかった。
次に、（２）については、平成３０年度において、研究分担者が部分多様体論やリー理論の分野で関連する枠組みの探索研究を行い一部成果発表を行うとともに、研究分担者井ノ口と研究代表者が、引き続き、「３次元リー群のグラスマン幾何的曲面論」の研究を継続し、その結果をリーマン対称空間の場合に適用することを試みたが、未だ、アイデアの段階に留まっている。この継続研究の関連論文で以前掲載受理の段階にあったものが今年度学術誌に掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究課題の「研究目的」は，上記「研究実績の概要」で記したように，実質的なグラスマン幾何的曲面論の枠組判定（１）及びその曲面論の幾何学的考察（２）である。
（１）については、平成３０年度に定めた研究の方向性に従って、リーマン対称空間の特別な場合である両側不変計量のコンパクトリー群に限定して、課題解決とイソトロピー表現との関係解明を目指したが、完全解明には至らなかった。
（２）についても、分担者井ノ口との３次元リー群のグラスマン幾何的曲面論に関する研究は着実に進展しているものの、リーマン対称空間のグラスマン幾何的曲面論に関してはアイデアの段階に留まっている。
以上より、研究課題に係る具体的知見は順々と蓄積しているものの、研究全体としては、指数写像という１つの障壁に阻まられ停滞している感がある。この意味で、遅々とした研究進展はあるものの、大きな成果に繋がるまでには至っていないと考え「やや遅れている」と自己評価した。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題は、当該年度が最終年度である。研究課題を含む大きなテーマである「リーマン等質空間の等質部分多様体」の分類問題は、 Dynkin によって２０世紀前半に完成された偉業である「複素単純リー群のリー部分群」の分類研究の、部分多様体の幾何学分野における延長線上にあり、当該分野では大きな未解決テーマとなっている。本研究は、リーマン等質空間と部分多様体をそれぞれ「リーマン対称空間」及び「グラスマン的曲面」に限定して研究し、未解決テーマの進展を目指したものであるが、１つの壁に当たった状況を勘案して、分担者を含み、広くこのテーマに関連する研究者達と今後の研究方針を議論する計画をしていた。コロナウイルスのため未だ実現していないので、令和２年度に実施予定である。
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| Causes of Carryover |
コロナウイルスで幾何学分野の学会や研究集会が中止になり、今後の研究方針を議論する場がなくなった。そのための旅費として準備していた７万円程度が未執行になった。研究課題の延長手続きをとり、令和２年度に開催される適切な学会等で研究代表者が実施をする計画にしている。
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