2016 Fiscal Year Research-status Report
Rizza構造を許容する正則ベクトル束の微分幾何学とその応用に関する研究
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16K05135
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
愛甲 正 鹿児島大学, 理工学域理学系, 教授 (00192831)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小櫃 邦夫 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (00325763)
田中 恵理子 鹿児島大学, 理工学域理学系, 助教 (70376979)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 複素フィンスラー計量 / Rizza構造 / 豊富性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２８年度は主に複素フィンスラー計量を持つ正則ベクトル束の研究，特に複素フィンスラー計量が強擬凸な場合，すなわちRizza構造の場合にエルミート幾何学の自然な拡張として，（１）エルミート接続を拡張した複素フィンスラー接続，（２）曲率を用いた正則束の豊富性（ampleness）と負性（negativity）の研究を主に行った。研究の背景にあるものは正則ベクトル束がHartshornの意味で豊富（ample）ならば正曲率のエルミート計量を許容するかという問題である。（逆は正しいことはよく知られている。）この問題については1976年に小林昭七氏が示したように複素フィンスラー幾何学が有用な研究手法と思われる。すなわち，正則束が豊富であるための必要十分条件はその双対束が負曲率の複素フィンスラー計量を許容することであり，この条件は複素フィンスラー接続の曲率を用いて与えられる。正則束の豊富性に関連した研究として，射影代数的な複素多様体の研究がる。例えばコンパクトなケーラータ多様体がどのような条件を満たせば射影代数的かという興味ある問題がある。特に，S.T. Yauは正則断面曲率が負ならばその標準直線束は豊富であり，従ってそのような多様体は射影代数的であるという予想があり，これはD. WuとS.T. Yauにより2015年に肯定的に解決された。D. WuとS.T. Yauによる研究は複素フィンスラー幾何学に自然に拡張される。すなわち，コンパクトな複素多様体が正則断面曲率が負であるようなフィンスラー・ケーラー計量を許容すれば，その多様体は射影代数的であると予想される。この予想については，前回の研究課題で展開した平均化の手法を用いて解決できると考え，今年度はその検証に努めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は，正則ベクトル束の豊富性の研究のために，Rizza構造を許容すると仮定して研究を行った。特に，
（１）特殊な場合として，そのRizza構造がBerwald的である場合に限り研究した。例えば，正則ベクトルが正則直線束との正則直和に分解できればBerwald的なRizza構造を許容することを示し，Rizza構造が負曲率を持てばその正則束の双対束は豊富であることを示した。この結果は第51回フィンスラー幾何学シンポジウムで発表した。この結果を精査し論文にまとめて投稿予定である。
（２）正則束が複素多様体の正則接束の場合，Rizza構造がケーラー性を満たすと仮定し，それから平均化の手法で得られるエルミート計量がケーラー性を満たすかを検証し，その結果，正しいことを証明した。このRizza構造が負の正則断面曲率を持つならば，平均化で得られるケーラー計量の正則断面曲率も負であることを検証できれば，D. WuとS.T. Yauの結果より多様体が射影代数的であることが従う。おおよそ平均化の手法が通用することを確認できている。詳細についての検証は現在進行中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究計画【A】Rizza構造を許容する正則ベクトル束のnegativitiyについての研究については，S.T. Yauによる予想のフィンスラー幾何学への拡張が新たな研究課題となった。この新しい研究課題については，前回の科研費補助事業で研究した平均化の手法を用いて，主に研究代表者（愛甲）が研究を進める予定である。
研究計画【B】フィンスラー幾何学における双対幾何学と共形幾何学に関する研究については，フィンスラー・ワイル接続を用いて研究を遂行する。フィンスラー・ワイル接続の曲率は計量の共形類に共通な接続であるから，これを用いて双対接続の幾何学との関連を，研究分担者（田中氏）の協力を得て遂行する予定である。
研究計画【C】正則ベクトル束の射影化束をケーラー多様体の族として扱う研究については，この射影化束をコンパクト複素多様体と捉えて，その構造層を係数とするコホモロジー群を用いて，底空間であるコンパクトな複素多様体が射影的代数多様体であるための十分条件を見つけることを目標とする。この研究は研究計画【A】とも関連しているため，研究分担者（小櫃氏）の協力を得て遂行する予定である。
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