2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05150
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| Research Institution | Kochi University |
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Principal Investigator |
逸見 豊 高知大学, その他部局等(名誉教授), 名誉教授 (70181477)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山口 俊博 高知大学, 教育研究部自然科学系理学部門, 教授 (90346700)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 有限位相空間 / 順序複体 / 有限位相空間の圏の拡張 / 有限位相空間のホモトピー群 / 有限位相空間のループ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限位相空間（T_0分離公理を満たすとする）に対し，その順序複体を考えることにより，有限位相空間と連続写像の圏から，有限単体的複体と単体写像の圏への関手が得られる．この関手は充満であるが忠実でないことが知られている．さらにこの関手はホモトピックな写像を強ホモトピックな単体写像に写し，よってホモトピー圏の間の関手を定義するが，この関手も充満であるが忠実でないことが知られている．
研究代表者はこれまでに，有限位相空間の間の連続写像の定義を弱めることにより，有限位相空間の圏Ftopを拡張した新たな圏Ftop*を定義し，その圏からも上記の関手が定義され，さらにこの拡張された圏Ftop*からは，関手が充満かつ忠実になることを示している．また，この関手はホモトピー圏の間の忠実かつ充満な関手を定義することも示している．
一方，Ftop*の射は必ずしも連続ではないため，ホモトピー群やホモロジー群などの代数的な関手が，この拡張された圏でも定義されるかは不明である．我々はホモトピー群の定義を通常の球面からの連続写像のホモトピー類の集合とするのではなく，圏Ftop*内部で形式化する方法を与えることを考えた．具体的には球面や高次元立方体の代わりとなる有限位相空間を考え，その空間からの射のホモトピー類の集合としてホモトピー群を定義した．今のところ構成は順調に進んでおり，近いうちに最終的な結果を得ることができると考えている．
なお，当初予定していたグラフホモトピーとの関連については，グラフのA群と有限位相空間のホモトピー群との対応で必ずしも思わしいものが得られないため，現在は中断している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
有限位相空間の新たな圏を考え，それを用いて単体複体と関連させながらホモトピー論を展開するのが本研究の目的である．そのため基礎理論の構築が主なる研究となり，その途中で当初の予想とは異なる問題が生じることが多々ある．それらの解決のため予定から少し外れた研究内容になることが起こっているが，新たな研究対象はそれ自体十分意味があるテーマであり，現在のところそれらに関する研究も順調であり，理論自体がより興味深いものとなってきていると考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要でも述べたように，有限位相空間のホモトピー群を，球面あるいは高次元立方体でなく，適当な有限位相空間からの拡張された圏Ftop*における射のホモトピー類を考えることにより，Ftop*の内部で定義の形式化を行うことを考えており，今後もこの方法で議論を進めていく．
一方で，有限位相空間のループ空間に対応する空間を考え，それを用いてホモトピー群の定義を形式化することも考えている．現在ではこの方法でもある程度の進展はあるが，いくつかの問題点が生じており，それを解消するために有限とは限らない空間，すなわちAlexandroff空間や，有限位相空間の圏の射影圏などを考える必要があると思われる．今後はその点も研究視野に入れる予定である．
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| Causes of Carryover |
研究代表者が体調を崩し一時入院していたため，研究費が余ってしまった．現在では体調は戻っており，残り１年の研究期間内に全額使用する予定である．
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