2017 Fiscal Year Research-status Report
距離空間における微分方程式の適切性理論の構築－ベクトル空間の枠を超える挑戦－
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16K05199
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
田中 直樹 静岡大学, 理学部, 教授 (00207119)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
赤木 剛朗 東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | mutational equation / WED functional / comparison function / quasi-linear equation / monotone operator / metric-like functional / semigroup of operators / doubly nonlinearity |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．時間に依存する単調作用素, 劣微分作用素により支配される発展方程式の枠組みの拡張について：微分作用素のイメージと結びつきにくい，時間に依存する劣微分作用素がもつ連続性条件を導出し，双曲系をも組織的に取り扱うことができるような発展方程式の枠組みを提案し，現在，この枠組みにおいて適切性定理を模索中である。多方面からの考察として, カラテオドリ－条件を満たす準線形作用素に支配される発展方程式の初期値問題に関する適切性定理の考察を並行して進めている。
２．加藤の準線形理論の拡張－距離空間における微分方程式の適切性理論の構築に向けて－について： （１）定義域が稠密でなく一定でもない準線形作用素に支配される発展方程式の初期値問題に対する適切性に焦点を当て，加藤の準線形理論を，可積分関数におけるサイズ構造モデルへ応用可能となるように改良した (Nonlinear Anal.)。射影を用いた交換子の条件のもとで，理論展開した点が特色である。（２）Aubin により始められた変異方程式に対する適切性定理の特徴づけ (Israel J. Math. (掲載決定)) の微分方程式への応用を探り，この内容を含め，近年の作用素半群の研究動向を日本数学会企画特別講演で紹介した。
３．AGS 理論の深化を目指して－距離空間における勾配流に対する適切性の考察－について： 比較関数の最大解を用いた増大条件を導入して，距離空間における勾配流に対する適切性定理を考察し，その内容を整理した。また, 研究分担者は, 二重非線形発展方程式に対する変分的定式化の試みとして，WED 汎関数を用いた変分原理を導入した。特に, Serra-Tilli (2012, Ann. of Math.) により開発された WED 汎関数に対する変分的手法を組み込むことで, 発展方程式の時間大域解を直接的に得るスキームを開発した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「時間に依存する単調作用素, 劣微分作用素により支配される発展方程式の枠組みの拡張」として, サイズ構造モデルへ適用可能な半線形関数微分方程式に関する成果を得ている。また, 微分方程式のイメージと結びつきにくい連続性の条件に着目しながら, 新たな発展方程式の枠組みを提案した。さらに,「加藤の準線形理論の拡張－距離空間における微分方程式の適切性理論の構築に向けて－」に関して, 特異方程式に対する初期値問題に焦点を当て, その適切性定理を確立した。予定より早めに, 距離空間における勾配流に対する Chernoff型積公式を確立し, その拡張として, 適切性定理の考察を行っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
「時間に依存する単調作用素, 劣微分作用素により支配される発展方程式の枠組みの拡張」について, 提案した枠組みをもとに「非自励な方程式系の初期値問題の適切性」へ挑み, 望ましい適切性定理を確立したい。この研究課題については, 克服すべき点が多く現れているので, 多方面からの考察として, カラテオドリ－条件を満たす準線形作用素に支配される発展方程式の初期値問題に関する適切性定理の考察を並行して進め, その成果を本課題へ繋げてみたい。さらに, 距離空間における勾配流に対する Chernoff型積公式の確立, 適切性定理の考察という本年度の成果結果を踏まえ, 平成30年度の研究実施計画に記載した「距離空間における勾配流に対するAGS 理論の深化－枠組みの設定－」を目指したい。
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