2019 Fiscal Year Annual Research Report
Well-posedness for differential equations in metric spaces
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16K05199
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
田中 直樹 静岡大学, 理学部, 教授 (00207119)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
赤木 剛朗 東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | リプシッツ作用素半群 / 距離空間における勾配流 / 変異解析 / Kirchhoff 方程式 / 非整数階時間微分を含む発展方程式 / 劣微分作用素 / 単調作用素 / 準線形作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. AGS 理論の深化を目指して－距離空間における勾配流に対する適切性の考察－について：距離空間における勾配流の適切性の問題を, 増大条件を組み入れた変分不等式の可解性の問題へと翻訳し考察した。また，距離空間における勾配流に対する積公式を導出し，それを汎関数の摂動に付随する勾配流への接近法へ応用した。
2．加藤の準線形理論の拡張－距離空間における微分方程式の適切性理論の構築に向けて－について：Aubin により始められた変異方程式に対する適切性を, コンパクト条件を用いる先行研究と異なり, 距離を用いた消散条件と劣接線条件により特徴づけ, その特徴づけを加藤理論として高名な準線形理論へ応用した。
3. 時間に依存する単調作用素, 劣微分作用素により支配される発展方程式の枠組みの拡張について：微分作用素の性質からイメージしにくい連続性条件を満たす生成素のクラスを導入し，それにより生成されるリプシッツ作用素半群に対する積公式を導出し, その成果を Kirchhoff 方程式の混合問題への近似可解性へ応用した。また, 発展方程式の枠組みの拡張として, 遅れを考慮した非自励な方程式があり, これに関する従来の様々な研究を統一的に扱う理論の構築のために，スティルチェス積分により記述される積分方程式の最大解を利用した解の増大度条件，連続な有界変動関数を利用した連続率による方程式を支配する作用素の時間に関する連続性条件の下で可解性を確立し, 原稿を投稿中である。さらに, 研究分担者の赤木は, Hilbert 空間に於ける非整数階時間微分を含む発展方程式の一般論の構築を行い, 高村-Brezis 理論を拡張した。この研究は近年盛んに研究されるようになった時間微分の分数冪を含む非線形偏微分方程式の研究に対する基本的枠組みを与えるものである。
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