2022 Fiscal Year Final Research Report
A study on an estimate of solutions of Helmholtz equation and the smoothing effect of solutions of corresponding time-dependent problems
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16K05243
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Research Field |
Mathematical analysis
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| Research Institution | Nippon Medical School |
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Principal Investigator |
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
門脇 光輝 滋賀県立大学, 工学部, 教授 (70300548)
望月 清 東京都立大学, 理学研究科, 客員教授 (80026773)
渡辺 一雄 学習院大学, 理学部, 講師 (90260851)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 波動方程式 / シュレディンガー作用素 / ヘルムホルツ方程式 / 非自己共役 / スペクトル解析 / 数学的散乱理論 / 一様リゾルベント評価 / 極限振幅の原理 |
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| Outline of Final Research Achievements |
In this study, we have derived a uniform estimate with respect to spectral parameters and related estimates for the solution of the Helmholtz equation with energy-dependent potential, which is a stationary problem for the wave equation with dissipative term, and studied the behavior of the solution of the original wave equation as its application. As a result of this work, a new estimate of the solution to the stationary problem was derived, and the principle of the limiting amplitude for the wave equation with dissipative term, which also takes into account the effect of magnetic fields, was successfully proved. This is an improvement of the result obtained by Mizohata-Mochizuki in 1966 (J. Math. Kyoto Univ.,). This result has already been submitted to a peer-reviewed journal and has been accepted for publication.
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| Free Research Field |
偏微分方程式論 数学的散乱理論
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| Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements |
本研究では，1966年以来全く進展のなかった，摩擦項を伴う波動方程式に対する極限振幅の原理を，3次元全空間のみならず3以上の全ての次元に対する全空間或いは2以上の全ての次元に対する星状な障害物の外部領域として，更に磁場の効果をも取り入れた形で証明することに成功した。その証明で重要な役割を果たす評価は，Mochizuki(2010, RIMS)及びMochizuki-Nakazawa(2015,RIMS)によって得られた磁場中のシュレディンガー作用素に対する一様リゾルベント評価である。これらの評価によって外部領域における定常問題の解の評価が可能となり，今回の結果が得られた。
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