2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K13758
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
山田 澄生 学習院大学, 理学部, 教授 (90396416)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 凸幾何学 / ヒルベルト計量 / フンク計量 / フィンスラー計量 / 測地線の幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
凸体の形状を、ヒルベルト計量を持つ（無限次元）ユークリッド空間の第一象限内の部分多様体として表現することで、凸体の幾何学を考察することを目標とする研究課題において、本年度は以下の進展をみた。
研究協力者Athanase Papadopoulos氏とのFunk型計量の研究の一環として、論文Deforming hyperbolic hexagons with applications to the arc and the Thurston metrics on Teichmueller spacesを発表した。これはサーストンによって1980年代に定義されたタイヒミュラー空間上の計量を、異なる方法で再定義したもので、凸体としてのタイヒミュラー空間論に新しい視点を導入した。ここで現れる測地線は、モジュライ空間論において正準的な変形を示唆しており、双曲幾何学においても意義深いものである。また凸体の外的領域でFunk型計量を定義するTimelikeな幾何学の構成を、ちょうど半世紀前に書かれて忘れ去られていたH.Busemannによる論文の精査を経て行った。この論文はBusemannの測地線の理論をローレンツ幾何学の文脈で再構成するという興味深いものであるが、我々はそこに新たに凸幾何学の知見を融合することで時空の幾何学に新たな展開を図った。これはTimelike Hilbert and Funk Geometryとして論文にまとめ来年度に公開の準備中である。
よって今年度は、近代数学の要所に必然的に発生する凸幾何学、凸解析学と、FunkおよびHilbert型計量との関連を明示的な解明が進んだ。この方向性は来年度以降も継承されるべきものと考える。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の推進にあたって、ヨーロッパ、とくにフランスの研究グループとの交流が活発化してきたことがあげられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
Busemannという２０世紀微分幾何学のリーダーの遺した指針に従って、凸体上に定義される距離空間の測地線の振舞いを、多角的かつ統括的に考査していく。現状では、タイヒミュラー空間、ローレンツ多様体、アインシュタイン時空という具体的な文脈との関連が特定されてきており、凸体という標語のもとに新たな研究対象の拡がりを探求していく。
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| Causes of Carryover |
今年度招聘予定だったフランス在住の研究者およびイギリス在住の研究者の招聘が実現しなかったため、当初予定していた研究計画に変更が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
来年度に、フランス人研究者Athanase Papadopoulos氏、およびスイス人研究者Nobert A'Campo氏との共同研究そ遂行するための費用としての使用を計画する。
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