2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K13758
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
山田 澄生 学習院大学, 理学部, 教授 (90396416)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 凸幾何学 / 射影幾何学 / ヒルベルト計量 / フィンスラー計量 / ド・シッター幾何学 / 変分法 / タイヒミュラー空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
連携研究者（Athanase Papadopoulos）と定曲率空間内の凸体の外的領域に定義されるフィンスラー幾何学の研究を推進した。この研究は、Timelike Hilbert and Funk Geometriesという論文として発表した。双曲幾何学の史上最初のモデルであるクラインの円盤の一般化として凸体の内部における射影幾何学からHilbert計量が定義されたが、今年度の研究においては凸体の外的領域における射影幾何学を介して、ド・シッター空間の一般化を定式化した。この研究課題は1960年代にH. Busemannによって提唱されて以来ほぼ完全に忘れ去られてきたものであるが、研究代表者（山田）と連携研究者（Athanase Papadopoulos）の近年の射影幾何学の変分的な構成法を用いることで、射影幾何学の応用という意味で古典的ではあるが、全く新しい距離空間を具現化することが可能になった。また定曲率空間という範疇に入らないが、非常に重要な凸体の典型であるリーマン面のタイヒミュラー空間の幾何学をフィンスラー幾何学の観点から継続的に研究を進め、その結果タイヒミュラー空間のspine（レトラクト）の幾何学的構成に関して新たな知見をバーゼル大学のNobert A'Campo氏との共同研究で得た。このspineの構成は上述の凸体の外的領域の幾何学を元にしており、凸幾何学の広義な汎用性がこの一連の研究で再認識された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
凸幾何学の一つの表現手段としてのヒルベルト計量およびフンク計量の理解が、複数の全く異なる文脈における具体例の構成を伴って統括的に進んでいる。最終年度である平成30年度に向けて、これらの具体例から誘導される研究の方向性が確定されて来たことを鑑みるに、本研究課題は順調に進展していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
ユークリッド空間、双曲空間および球面という３つの定曲率空間上の凸幾何学を、ミンコフスキー空間、ド・シッター空間、反ド・シッター空間という定曲率ローレンツ空間に置き換えることで、ヒルベルト計量およびフンク計量の幾何学の一般化を図る。またタイヒミュラー空間という幾何学的には非常に複雑な空間を距離関数の凸性というsyntheticな観点から再解釈することを、平成29年度にえらえた知見を元に進めていく。これらの研究計画の実装に伴って、フランス・ストラスブルグ、スイス・バーゼル、ドイツ・オーベルボルハにおける研究打ち合わせを計画する。
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| Causes of Carryover |
研究課題が起動して以来これまでにほぼ予定通りに研究計画の遂行が進んでおり、予算の使用額は当初の計画の.５％以下の誤差に留まっている。
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