2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K17572
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
石塚 裕大 京都大学, 理学研究科, 特定助教 (50761136)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 行列式表示 / 指数和の計算 / 平面曲線 / ヤコビ多様体 / 法ガロア表現 / Fermatの四次曲線 / Kleinの四次曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
・昨年度に遂行した、谷口隆氏（神戸大学）との共同研究であった有限体上の概均質ベクトル空間の軌道の特性関数に関する指数和に引き続き、概均質ベクトル空間の一般化である余正則空間での計算を行い、部分的な結果を得た。具体的には二元四次形式の空間を対象としたもので、概均質ベクトル空間の手法に加え、cross-ratio という不変量を用いることで、部分空間と表現の軌道の交わりの個数をいくつかの場合で決定している。これは谷口隆氏、Frank Thorne 氏（サウスカロライナ大学）、Stanley Yao Xiao 氏（オックスフォード大学）との共同研究である。
・これまでの平面三次曲線の行列式表示についての計算アルゴリズムに続く形で、平面四次曲線での具体的計算を行った。特に Klein の四次曲線や Fermat の四次曲線の線形行列式表示の分類を完遂し、Singular や Sage 等の計算ソフトの助けを借りて、それぞれの同値類の代表元を求めた。特に対称性のある行列式表示については、昨年度の平面三次曲線についてのアルゴリズムを応用している。
合わせて、Fermat の四次曲線のヤコビ多様体の 4-torsion を決定し、4 を法とする法 Galois 表現の具体的表示を得た。系として Fermat の四次曲線のヤコビ多様体の有理数体上の有理点を決定している。この系については古典的に Faddeev らの結果が知られていたが、法 Galois 表現の決定は、それを補完および拡張した結果となっている。これは大下達也氏（愛媛大学）と伊藤哲史氏（京都大学）二名との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
極小複体を数論への応用する際に必要となるであろう技術や概念についての理解が大きく進んだため。また関連する他の問題が多く明らかになったため。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず、昨年度に引き続き、伊藤哲史氏らとの共同研究で、四次曲線の行列式表示についての局所大域原理などの今挙がっている問題にアプローチする。また、四次曲線の二次形式成分の対称行列式表示、平面３次曲線のひねった対称性をもつ対称行列式表示、射影直線２つの直積に埋め込まれた種数１の曲線についての対称性のある行列式表示などについても研究をすすめる。
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| Causes of Carryover |
研究費を能率的に使用したこと、および今年度の研究集会のスケジュールを見て今年度に用いたほうが良いと判断したため。
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