点渦系に関連する楕円型方程式の研究

2017 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 16K17627
• Research Institution: Nara University of Education
• Principal Investigator: 高橋 亮 奈良教育大学, 数学教育講座, 准教授 (30583249)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 点渦乱流 / 平均場方程式 / 確率論的モデル / 決定論的モデル / 爆発解析 / 解の存在性 / 解の一意性

Outline of Annual Research Achievements

本研究では、２次元領域における多強度点渦乱流平均場方程式の解の性質を解明する。特に、逆温度に関するパラメータによって解の性質がどのように変化するかを研究する。本年度の研究において得られた主要な実績を、以下の①、②で述べる。

①多強度点渦乱流平均場方程式の確率論的モデルおよび決定論的モデルについて、正２強度かつ円板領域の制限の下で研究を行った。確率論的モデルについては、Trudinger-Moser 不等式に関連する閾値を超えても解が存在し得ることを示した。これは、（円板領域という制限下において）従来活発に研究されてきた単強度点渦乱流モデルおよび決定論的モデルではみられなかった現象である。また、決定論的モデルについては、解が関連する全域解と１対１対応にないことを示した。これは、単強度点渦乱流モデルおよび決定論的モデルではみられなかった現象である。さらに、確率論的モデルの爆発解の構成に関して重要と思われる評価を導出した。以上の結果は査読付き国際雑誌にて掲載が決定された。

②確率論的モデルについて、爆発解のプロファイルに関する一様評価を導出した（この評価は単強度点渦乱流モデルについては知られており、当該分野においては応用性があることが知られている）。この評価を基に、①で得られた結果を精密化することに成功した。解の存在性に関して、３つの閾値の存在が示された。また、解の一意性に関して、Trudinger-Moser 不等式に関連する閾値付近では解の一意性が成立しないことを示した。これは、単強度点渦乱流モデルではみられない現象である。これらの研究結果については、近日中に査読付き国際雑誌へ投稿する予定である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度において、確率論的モデルの爆発解のプロファイルに関する一様評価を導出した。この評価と初年度に得られた基礎的な爆発解析の結果をもとに、単強度点渦乱流モデルと確率論的モデルとの類似点・相違点を追究する準備が整った。また、決定論的モデルについては、当初の予想よりもその解析が困難であることが判明したが、強度分布が離散的である場合は、これまでに得られた諸結果をもとに、解の性質を研究する準備が整った。以上より、本研究はおおむね順調に進展していると判断する。

Strategy for Future Research Activity

本年度において得られた確率論的モデルの爆発解のプロファイルに関する一様評価を起点とし、確率論的モデルのさらなる解析を目指す。また、これまでに得られた確率論的モデルと決定論的モデルとの類似性・相違性が、どのような領域に対して成立しうるかを吟味する。さらに、同じエネルギー汎関数をもつ発展方程式について、適切性を証明し、有限時間爆発および無限時間爆発の可能性を追究する。

Remarks

研究実績の概要①で述べられた結果は、論文「Tonia Ricciardi, Ryo Takahashi, On Radial two-species Onsager vortices near the critical temperature」においてまとめられ、査読付き国際雑誌 Indiana University Mathematics Journal でその掲載が決定している。