2017 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of singular nonlinear structure in dissipative systems
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17H01095
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
柳田 英二 東京工業大学, 理学院, 教授 (80174548)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
赤木 剛朗 東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)
石毛 和弘 東北大学, 理学研究科, 教授 (90272020)
石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (30350458)
高橋 太 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10374901)
田中 敏 岡山理科大学, 理学部, 教授 (90331959)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 非線形 / 散逸 / 特異性 / 偏微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
楕円型偏微分方程式については、一般有界領域上での臨界型 Hardy 不等式の最良定数の値及びその達成可能性と領域の幾何学的形状の関係、重み付き臨界型 Hardy 不等式の確立及び Kolmogorov 作用素を主部に持つ発展方程式の可解性への応用について成果を上げた。また1次元分数べき Trudinger-Moser 不等式の全空間バージョンの確立とその最良定数の達成可能性・不可能性、Trudinger-Moser 型不等式と関連する最大化問題の研究についても進展があった。
放物型偏微分方程式については、非線形境界条件付き熱方程式の解の初期トレースの特徴付け及び解が存在するための初期関数の最も強い特異性の同定, ポテンシャ ル項付熱方程式の解の漸近解析, Finsler Laplace 作用素と Finsler熱方程式 について研究を行った. また、ポテンシャル項付藤田型方程式の時間大域 可解性、非線形楕円型方程式の可解性等の研究も行った．このほか、高次元特異性を有する解の存在するための条件をかなり一般性のある枠組みで明らかにした。
非線形発展方程式については、勾配構造を有する発展方程式を対象にWED 汎関数を用いた変分的定式化を拡張し、時間大域的な理論を構築した。その他, 解の単調性を拘束条件に持つ発展方程式を一般的な枠組みで扱い,それに適した解の概念を導入し, 実際にその存在の証明や諸性質について議論した . そのほか、散逸型方程式の定常問題の１つである、一次元の(p,q)-ラプラス作用素をもつある２点境界値問題について、その問題に含まれるパラメータと正値解の個数の関係を完全に明らかにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
楕円型偏微分方程式に対して各種の不等式を確立し、解の構造の研究に応用した。放物型方程式については，非線形境界値問題の解の存在、特異解の構成について進展があった．より一般の発展方程式については変分的定式化についての拡張などについて成果をあげた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度進展があった課題の完成を計るとともに、新たな方向の問題に取り組む予定である。特に、Hardy型ポテンシャルを持つ放物型方程式の解の構造、透過媒質方程式に対する特異性と非線形の相互作用、変分構造と特異非線形構造の関連について重点的に研究を進める予定である。
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