2018 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of singular nonlinear structure in dissipative systems
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17H01095
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
柳田 英二 東京工業大学, 理学院, 教授 (80174548)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高橋 太 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10374901)
石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (30350458)
赤木 剛朗 東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)
石毛 和弘 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90272020)
田中 敏 岡山理科大学, 理学部, 教授 (90331959)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 非線形 / 散逸 / 特異性 / 偏微分方程式 / 特異拡散 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成３０年度は、非線形楕円型および特異拡散方程式、および関連する常微分方程式を中心に研究を進め、以下のような成果を得た。
楕円型偏微分方程式については、非等方的 Finsler ノルムを含む種々の Hardy 型不等式及び Kato 不等式（トレース Hardy 不等式）、monomial weight を持つ対数型 Sobolev 不等式及び関連する変分問題に関連した方程式、divergence-free または curl-free ベクトル場に対する Hardy-Leray 不等式の最良定数について成果が得られた。また、変動指数をもつソボレフ埋め込みのコンパクト性、ソボレフ臨界指数に達する変動指数をもつ半線型放物型方程式の時間大域解の最大値ノルムの時間大域的有界性に関して大きな進展があった。
熱方程式の解の対数凸性の精密化した凸性概念を導入し、熱方程式が保存する最も強い凸性の同定に成功した。ポテンシャル項付き半線形熱方程式の時間大域可解性に関する藤田指数の決定に関して成果が得られた。対数拡散方程式と反応項を結合した系に対し、進行波の存在と安定性に関する問題を解決した。このほか、放物型偏微分方程式については、単調成長を拘束条件に持つ勾配流の例として非斉次項付き拡散方程式に対応する問題の可解性や解の正則性・比較原理・長時間挙動を研究し、分数冪ラプラシアンの境界値問題に対する解の正則性理論や一般化された勾配流に対する変分原理について大きな進展があった。
常微分方程式については、散逸型方程式の定常問題である Moore-Nehari 方程式の２点境界値問題について研究が進んだ。その問題の正値対称解から正値非対称解が分岐する現象を発見することができ、さらに分岐が起こる瞬間のパラメータの値を厳密に求めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
各課題について順調に研究が進展した。
楕円型方程式については、Hardy 不等式の一般化について大きな進展があった。
放物型方程式については、特異拡散方程式系の解の正則性に関する問題を解決し、定性的挙動について研究が進んだ。常微分方程式についても境界値問題の解析に大きな進展があった。
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| Strategy for Future Research Activity |
放物型偏微分方程式については、特異拡散項を含む方程式系の解の非一意存在に関する研究の完成を目指すとともに、反応項との相互作用による現象の記述と解析手法の確立を目指してさらに考察を進める。特に、対数拡散方程式の解の構造を線形拡散方程式との違いを意識して調べ、その解析手法の確立と新しい非線形構造の発見を目指す。
また、Hardy型ポテンシャルを持つ放物型方程式における特異解の存在と構造の問題、非線形拡散方程式における動的特異点の存在とその性質の解明を図る。特に、きわめて遅い拡散を伴う方程式において、特性が凍結することにより生じる漸近的非対称解の存在とその形状についての研究を開始する。
楕円型方程式については、特に多様体上の解の対称性とその破れの問題に対して分岐理論と変分法を用いて考察し、ユークリッド空間上の領域との違いを明らかにしていく。また、特異解の分類と漸近形状についてより詳細な性質を明らかにした、対応する放物型方程式のダイナミクスに与える影響について調べていく。
関連する常微分方程式の境界値問題の重要性が増していることから、特に優線形の場合の解の構造を解析するための強力な手法の開発を目指す。また変分問題との関連についても考察を加える。
このほか、これまでにやり残した研究について検討を進め、今後の研究の方向を明確にする。
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[Presentation] To logconcavity and beyond2019
Author(s)
石毛和弘
Organizer
AMS Spring Central and Western Joint Sectional Meeting SS44A "New Trends on Variational Calculus and Non-Linear Partial Differential Equations", University of Hawaii, Manoa, USA
Int'l Joint Research / Invited
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