2019 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of singular nonlinear structure in dissipative systems
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17H01095
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
柳田 英二 東京工業大学, 理学院, 教授 (80174548)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高橋 太 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10374901)
石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (30350458)
赤木 剛朗 東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)
石毛 和弘 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90272020)
田中 敏 岡山理科大学, 理学部, 教授 (90331959)
佐野 めぐみ 広島大学, 工学研究科, 准教授 (70834935)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 非線形 / 散逸 / 特異性 / 偏微分方程式 / 特異拡散 / 変分問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度は、非線形楕円型偏微分方程式，特異拡散方程式および関連する変分問題を中心に研究を行った。
楕円型偏微分方程式に関しては，まず円環領域における正値球対称解が一意であるための十分条件を決定するとともに，主要部に一般的な非線形項が含まれる方程式系の正値球対称解の存在性についての結果を得た。また，Hardy型不等式やPoincare不等式の極限形の導出，改良型Hardy-Sobolev不等式の最良定数に付随する最小化問題の達成可能性，臨界Hardy不等式の高階への一般化である臨界Rellich不等式の具体的な最良定数の値や最小化問題の達成可能性についての成果を得た。このほか，球対称領域上での係数関数付き臨界ソボレフ型方程式の正値解の存在についての結果を得た．
放物型偏微分方程式に関しては，まず，破壊現象の記述などに現れる強い不可逆性 (または一方向性) を有する勾配系に対する基礎理論を構築した．異常拡散モデルなどに見られる分数冪ラプラス作用素に対する不等式とその応用，非整数階時間微分を含む発展方程式の一般論構築を行った．非線形境界条件熱方程式が可解であるために許容できる初期関数の特異性の特徴付けを行った。この他、零臨界と言われる解析が困難とされていた場合のポテンシャル項付き熱方程式の漸近展開、優臨界における非斉次項付き非線形楕円型方程式の解構造、動的境界条件化における放物型方程式の定性的性質について研究を行った。
変分問題については，BVにおけるTrudinger-Moser 型汎関数の最大化問題の可解性、指数型非線型項を持つ全空間における半線型放物型方程式に対する安定集合・不安定集合の存在と解の漸近挙動、体積汎関数に対するプロファイル分解について成果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
各課題について順調に研究が進展した。楕円型方程式については、正値球対称解の構造，Hardy 不等式の一般化などについて大きな進展があった。放物型方程式については、特異拡散方程式系の解の正則性に関する問題を解決し、また非整数階作用を含む方程式の定性的理論について研究が進んだ。変分問題の放物型方程式への応用についても，解の漸近挙動の解析に成果を得た．
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| Strategy for Future Research Activity |
放物型偏微分方程式については、特異拡散項を含む方程式系の解の漸近解析に関する研究の完成を目指すとともに、反応項との相互作用による現象の記述と解析手法の確立を目指してさらに研究を進める。特に、分数冪ラプラス作用素や非整数階時間微分を含む問題の進展を図り，また対数拡散項を含む非線形問題の解の構造を線形拡散方程式との違いを意識して調べ、その解析手法の確立と詳細な非線形構造の解析を行う．
また、Hardy型ポテンシャルを持つ放物型方程式における特異解の存在と構造の問題、非線形拡散方程式における動的特異点の存在とその性質の解明を深化させる。特に、特異ポテンシャル項を含む方程式系の解の存在，漸近的対称性，不規則な挙動を示す特異点の解析に注力し，研究の新たな展開を図る．
楕円型方程式については分岐理論と変分法を応用し，特に多様体上の解の対称性とその破れの問題に関する研究を深化させる．特に，特異解の分類と漸近形状，空間大域解の構造についてより詳細な性質を明らかにし，対応する放物型方程式のダイナミクスに与える影響について明らかにする。
関連する常微分方程式の境界値問題については，特に優線形の場合の解の構造を解析するための手法の発展をはかり，また変分問題との関連についても詳細に調べる．
このほか、これまでにやり残した研究について検討を進め、今後の研究の方向を定める。
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